b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x,y)  thỏa mãn: $2x+y\le \text{3}$

b)       Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}x+my=m+1\left(1\right)\\ mx+y=2m\begin{array}{cc}& \end{array}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (2) $\Rightarrow y=2m-mx$   thay vào (1)  ta được

$x+m\left(2m-mx\right)=m+1\iff 2m^2-m^{2}x+x=m+1$

     $\iff \left(1-m^2\right)x=-2m^2+m+1\iff \left(m^2-1\right)x=2m^2-m-1 \left(3\right)$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\iff \left(3\right)$ có nghiệm duy nhất  

$m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2m+1}{m+1}\\ y=\frac{m}{m+1}\end{array}\right.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ y\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2m+1}{m+1}\ge 2\\ \frac{m}{m+1}\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-1}{m+1}\ge 0\\ \frac{-1}{m+1}\ge 0\end{array}\right.\iff m+1<0\iff m<-1$

Kết hợp với  ta được giá trị m cần tìm là $m<-1$ .

b)       Từ phương trình (1)   ta có $x=2y+5$ . Thay  $x=2y+5$vào phương trình (2)    ta được:  

$m\left(2y+5\right)-y=4\iff \left(2m-1\right).y=4-5m \left(3\right)$ 

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với:$2m-1\ne 0\iff m\ne \frac{1}{2}$ .

Từ đó ta được: $y=\frac{4-5m}{2m-1}$  ;    $x=5+2y=\frac{3}{2m-1}$   .

 Ta có:$x.y=\frac{3\left(4-5m\right)}{{\left(2m-1\right)}^2}$ .  Do đó $x.y<0\iff 4-5m<0\iff m>\frac{4}{5}$  (thỏa mãn điều kiện)