Cho hệ phương trình: mx+m+1y=1m+1x−my=8m+3 . Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất x;y

Xét hai đường thẳng d1:mx+m+1y−1=0;d2:m+1x−my−8m+3=0 . + Nếu m=0 thì d1:y−1=0 và d2: x−5=0 suy ra d1luôn vuông góc với d2 . + Nếu m=-1 thì d1:x+1=0 và d2: y+11=0suy ra d1 luôn vuông góc với d2 . + Nếu m≠0;1 thì đường thẳng d1,d2 lần lượt có hệ số góc là: a1=−mm+1,a2=m+1m suy ra a1.a2=−1 do đó d1⊥d2 . Tóm lại với mọi m thì hai đường thẳng d1 luôn vuông góc với d2 . Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau. Xét hai đường thẳng d1:mx+m+1y−1=0;d2:m+1x−my−8m+3=0 luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất

Câu hỏi:

19/08/2025 4,495

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} m x + (m + 1) y = 1 \\ (m + 1) x - m y = 8 m + 3 \end{cases}$ .

Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất $(x; y)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Giải hệ phương trình có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét hai đường thẳng $(d_{1}) : m x + (m + 1) y - 1 = 0; (d_{2}) : (m + 1) x - m y - 8 m + 3 = 0$ .

+ Nếu m=0 thì $(d_{1}) : y - 1 = 0$ và $(d_{2}) : x - 5 = 0$ suy ra $(d_{1})$ luôn vuông góc với $(d_{2})$ .

+ Nếu m=-1 thì $(d_{1}) : x + 1 = 0$ và $(d_{2}) : y + 11 = 0$ suy ra $(d_{1})$ luôn vuông góc với $(d_{2})$ .

+ Nếu $m \neq \{0; 1\}$ thì đường thẳng $(d_{1}), (d_{2})$ lần lượt có hệ số góc là: $a_{1} = - \frac{m}{m + 1}, a_{2} = \frac{m + 1}{m}$ suy ra $a_{1} . a_{2} = - 1$ do đó $(d_{1}) ⊥ (d_{2})$ .

Tóm lại với mọi m thì hai đường thẳng $(d_{1})$ luôn vuông góc với $(d_{2})$ . Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.

Xét hai đường thẳng $(d_{1}) : m x + (m + 1) y - 1 = 0; (d_{2}) : (m + 1) x - m y - 8 m + 3 = 0$ luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Xét hệ $\{\begin{cases} x + m y = m + 1 (1) \\ m x + y = 2 m \begin{matrix} \end{matrix} (2) \end{cases}$

Từ (2) $\Rightarrow y = 2 m - m x$ thay vào (1) ta được

$x + m (2 m - m x) = m + 1 \Leftrightarrow 2 m^{2} - m^{2} x + x = m + 1$

$\Leftrightarrow (1 - m^{2}) x = - 2 m^{2} + m + 1 \Leftrightarrow (m^{2} - 1) x = 2 m^{2} - m - 1 (3)$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow (3)$ có nghiệm duy nhất

$m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\{\begin{cases} x = \frac{2 m + 1}{m + 1} \\ y = \frac{m}{m + 1} \end{cases}$

Ta có $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 m + 1}{m + 1} \geq 2 \\ \frac{m}{m + 1} \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{- 1}{m + 1} \geq 0 \\ \frac{- 1}{m + 1} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1$

Kết hợp với ta được giá trị m cần tìm là $m < - 1$ .

Câu 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y)$ trong đó x,y trái dấu.

Xem đáp án

Lời giải

b) Từ phương trình (1) ta có $x = 2 y + 5$ . Thay $x = 2 y + 5$ vào phương trình (2) ta được:

$m (2 y + 5) - y = 4 \Leftrightarrow (2 m - 1) . y = 4 - 5 m (3)$

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: $2 m - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{1}{2}$ .

Từ đó ta được: $y = \frac{4 - 5 m}{2 m - 1}$ ; $x = 5 + 2 y = \frac{3}{2 m - 1}$ .

Ta có: $x . y = \frac{3 (4 - 5 m)}{{(2 m - 1)}^{2}}$ . Do đó $x . y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5 m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{4}{5}$ (thỏa mãn điều kiện)

Câu 3

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn: $2 x + y \leq 3$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 m - 1 \\ x - 2 y = 2 \end{cases}$ .

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: $x^{2} - 2 y^{2} = - 2$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hệ phương trình : $\{\begin{cases} 2 x + a y = - 4 \\ a x - 3 y = 5 \end{cases}$

a) Giải hệ phương trình với a=1

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tìm a, b biết hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + b y = a \\ b x + a y = 5 \end{cases}$ có nghiệm x=1 ; y=3

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} m x + (m + 1) y = 1 \\ (m + 1) x - m y = 8 m + 3 \end{cases}$ .

Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất $(x; y)$

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases}$

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y)$ trong đó x,y trái dấu.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn: $2 x + y \leq 3$

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 m - 1 \\ x - 2 y = 2 \end{cases}$ .

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: $x^{2} - 2 y^{2} = - 2$

Cho hệ phương trình : $\{\begin{cases} 2 x + a y = - 4 \\ a x - 3 y = 5 \end{cases}$

a) Giải hệ phương trình với a=1

Tìm a, b biết hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + b y = a \\ b x + a y = 5 \end{cases}$ có nghiệm x=1 ; y=3