c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Giải hệ phương trình có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

c) Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\{\begin{matrix} x \in ℤ \\ y \in ℤ \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} \in ℤ \\ \frac{a + 1}{a^{2}} \in ℤ \end{matrix} \begin{matrix} (a \in ℤ) \end{matrix}$

Điều kiện cần: $x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} = 1 + \frac{1}{a^{2}} \in ℤ \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} \in ℤ \Leftrightarrow a^{2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$

Điều kiện đủ:

$a = - 1 \Rightarrow y = 0 \in ℤ$ (nhận)

$a = 1 \Rightarrow y = 2 \in ℤ$ (nhận)

Vậy $a = \pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Với $a \neq 0$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

Đang tải chế độ Học...

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Xét hệ $\{\begin{cases} x + m y = m + 1 (1) \\ m x + y = 2 m \begin{matrix} \end{matrix} (2) \end{cases}$

Từ (2) $\Rightarrow y = 2 m - m x$ thay vào (1) ta được

$x + m (2 m - m x) = m + 1 \Leftrightarrow 2 m^{2} - m^{2} x + x = m + 1$

$\Leftrightarrow (1 - m^{2}) x = - 2 m^{2} + m + 1 \Leftrightarrow (m^{2} - 1) x = 2 m^{2} - m - 1 (3)$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow (3)$ có nghiệm duy nhất

$m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\{\begin{cases} x = \frac{2 m + 1}{m + 1} \\ y = \frac{m}{m + 1} \end{cases}$

Ta có $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 m + 1}{m + 1} \geq 2 \\ \frac{m}{m + 1} \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{- 1}{m + 1} \geq 0 \\ \frac{- 1}{m + 1} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1$

Kết hợp với ta được giá trị m cần tìm là $m < - 1$ .

Câu 2

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 m - 1 \\ x - 2 y = 2 \end{cases}$ .

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: $x^{2} - 2 y^{2} = - 2$

Xem đáp án

Lời giải

$\{\begin{cases} 2 x + y = 5 m - 1 \\ x - 2 y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 5 m - 1 - 2 x \\ x - 2 (5 m - 1 - 2 x) = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 5 m - 1 - 2 x \\ 5 x = 10 m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 m \\ y = m - 1 \end{cases}$

Thay vào ta có

$x^{2} - 2 y^{2} = - 2 \Leftrightarrow {(2 m)}^{2} - 2 {(m - 1)}^{2} = - 2 \Leftrightarrow 2 m^{2} + 4 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - 2 \end{array}$

Vậy $m \in \{- 2; 0\}$

Câu 3