c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Giải hệ phương trình có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

c) Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\{\begin{matrix} x \in ℤ \\ y \in ℤ \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} \in ℤ \\ \frac{a + 1}{a^{2}} \in ℤ \end{matrix} \begin{matrix} (a \in ℤ) \end{matrix}$

Điều kiện cần: $x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} = 1 + \frac{1}{a^{2}} \in ℤ \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} \in ℤ \Leftrightarrow a^{2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$

Điều kiện đủ:

$a = - 1 \Rightarrow y = 0 \in ℤ$ (nhận)

$a = 1 \Rightarrow y = 2 \in ℤ$ (nhận)

Vậy $a = \pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Với $a \neq 0$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Xét hệ $\{\begin{cases} x + m y = m + 1 (1) \\ m x + y = 2 m \begin{matrix} \end{matrix} (2) \end{cases}$

Từ (2) $\Rightarrow y = 2 m - m x$ thay vào (1) ta được

$x + m (2 m - m x) = m + 1 \Leftrightarrow 2 m^{2} - m^{2} x + x = m + 1$

$\Leftrightarrow (1 - m^{2}) x = - 2 m^{2} + m + 1 \Leftrightarrow (m^{2} - 1) x = 2 m^{2} - m - 1 (3)$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow (3)$ có nghiệm duy nhất

$m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\{\begin{cases} x = \frac{2 m + 1}{m + 1} \\ y = \frac{m}{m + 1} \end{cases}$

Ta có $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 m + 1}{m + 1} \geq 2 \\ \frac{m}{m + 1} \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{- 1}{m + 1} \geq 0 \\ \frac{- 1}{m + 1} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1$

Kết hợp với ta được giá trị m cần tìm là $m < - 1$ .

Câu 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y)$ trong đó x,y trái dấu.

Xem đáp án

Lời giải

b) Từ phương trình (1) ta có $x = 2 y + 5$ . Thay $x = 2 y + 5$ vào phương trình (2) ta được:

$m (2 y + 5) - y = 4 \Leftrightarrow (2 m - 1) . y = 4 - 5 m (3)$

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: $2 m - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{1}{2}$ .

Từ đó ta được: $y = \frac{4 - 5 m}{2 m - 1}$ ; $x = 5 + 2 y = \frac{3}{2 m - 1}$ .

Ta có: $x . y = \frac{3 (4 - 5 m)}{{(2 m - 1)}^{2}}$ . Do đó $x . y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5 m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{4}{5}$ (thỏa mãn điều kiện)

Câu 3