Lợi nhuận I thu được từ việc giảm giá một loại xe gắn máy của một doanh nghiệp tư nhân là một tam thức bậc hai I(x) = 200x² – 1400x + 2400, trong đó x là số tiền giảm giá (triệu đồng) và 0 ≤ x ≤ 5. Với số tiền giảm giá là bao nhiêu thì doanh nghiệp đó không có lãi?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ khi và chỉ khi (2 – 3m)x² + 2mx + m – 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Đặt f(x) = (2 – 3m)x² + 2mx + m – 1.

Trường hợp 1: a = 0 ⇔ 2 – 3m = 0 ⇔ m = $\frac{2}{3}$.

Với $m= \frac{2}{3}$, ta có $0.x^2+2.\frac{2}{3}.x+\frac{2}{3}-1>0$

$\iff \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}>0\iff x>\frac{1}{4}$

Do đó $m=\frac{2}{3}$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: a ≠ 0.

Khi đó f(x) là tam thức bậc hai có:

∆’ = m² – (2 – 3m)(m – 1)

= m² – (–3m² + 5m – 2)

 = 4m² – 5m + 2.

Để f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ thì a > 0 và ∆ < 0.

$\iff \left\{\begin{array}{l}2-3m>0\\ 4m^2–5m+2<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<\frac{2}{3}\\ 4m^2–5m+2<0\end{array}\right.$ (1)

Ta giải bất phương trình 4m² – 5m + 2 < 0 như sau:

Tam thức bậc hai g(m) = 4m² – 5m + 2 có ∆ = (–5)² – 4.4.2 = –7 < 0.

Do đó g(m) vô nghiệm.

Ta lại có a_m = 4 > 0.

Vì vậy g(m) > 0, với mọi giá trị của m ∈ ℝ.

Do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn g(m) = 4m² – 5m + 2 < 0.

Vì vậy không có giá trị nào của m để (1) thỏa mãn.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thu được m ∈ ∅.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi x (m) là chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật (x > 0).

Mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 150 m nên có nửa chu vi là 75 m.

Khi đó chiều rộng của mảnh đất là: 75 – x (m).

Do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên x > 75 – x hay x > 37,5.

Diện tích của mảnh đất là: x(75 – x) = –x² + 75x (m²).

Theo đề ta có diện tích của mảnh đất đó lớn hơn 650 m².

⇔ –x² + 75x > 650.

+) Xét tam thức bậc hai f(x) = –x² + 75x – 650 có:

∆ = 75² – 4.(–1).(–650) = 3025 > 0.

Suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

Ta lại có a = –1 < 0 và x > 37,5 nên:

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc hai khoảng (0; 37,5) và (65; +∞);

⦁ f(x) dương với mọi x thuộc khoảng (37,5; 65);

⦁ f(x) = 0 khi x = 37,5 hoặc x = 65.

Do đó bất phương trình –x² + 75x – 650 ≥ 0 có tập nghiệm là [37,5; 65].

Khi đó chiều dài của mảnh đất phải từ 37,5 m đến 65 m thì diện tích của mảnh đất đó lớn hơn 650 m².

Vậy ta chọn phương án D.