Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên có chữ số 1?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: n ≥ 3 và n ∈ ℕ*.

Ta có $14.P_3.C_{n-1}^{n-3}<A_{n+1}^4$

$\iff 14.3!.\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-3\right)!\left(n-1-n+3\right)!}<\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1-4\right)!}$

$\iff \mathrm{14.3.2.1.}\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n-3\right)!.2!}<\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-3\right)!}$

$\iff 84.\frac{\left(n-1\right).\left(n-2\right).\left(n-3\right)!}{\left(n-3\right)!.2}<\frac{\left(n+1\right).n.\left(n-1\right).\left(n-2\right).\left(n-3\right)!}{\left(n-3\right)!}$

⇔ 42.(n – 1)(n – 2) < (n + 1).n.(n – 1)(n – 2)

⇔ 42 < (n + 1).n      (do (n – 1)(n – 2) ≠ 0, với n ≥ 3 và n ∈ ℕ*)

⇔ n² + n – 42 > 0

⇔ n < –7 hoặc n > 6.

So với điều kiện n ≥ 3 và n ∈ ℕ*, ta nhận n > 6.

Vậy có vô số số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${\left(1+x\right)}^5$

$=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.x+C_5^2{.1}^3.x^2+C_5^3{.1}^2.x^3+C_5^4\mathrm{.1.}{x}^4+C_5^5.x^5$

$=C_5^0+C_5^1.x+C_5^2.x^2+C_5^3.x^3+C_5^4.x^4+C_5^5.x^5$

Cho x = 3, ta có:

${\left(1+3\right)}^5=C_5^0+C_5^1.3+C_5^2{.3}^2+C_5^3{.3}^3+C_5^4{.3}^4+C_5^5{.3}^5$.

Suy ra $S=C_5^0+3C_5^1+3^2{C}_5^2+3^3{C}_5^3+3^4{C}_5^4+3^5{C}_5^5=4^5$.

Vậy ta chọn phương án D.