Chứng minh rằng trong các tam giác cân có cùng diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ hơnlà tam giác có góc ở đỉnh nhỏ hơn.

$\widehat{KAM}$ lớn nhất $\iff$  $\widehat{BAK}+\widehat{DAM}$   nhỏ nhất

$\iff$ x + y nhỏ nhất $\iff$ tan (x + y) nhỏ nhất

Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0)

tan x =$\frac{BK}{AB}=\frac{BK}{BC}.\frac{BC}{AB}=\frac{4m}{5}$

tan y =$\frac{DM}{AD}=\frac{DM}{DC}.\frac{DC}{AD}=\frac{1}{5m}$

tan( x +y )= $\frac{\tan \mathbf{x}+\tan y}{1-\tan x.\tan y}=\left(\frac{4m}{5}+\frac{1}{5m}\right):\left(1-\frac{4m}{5}.\frac{1}{5m}\right)=\frac{25}{21}.\left(\frac{4m}{5}+\frac{1}{5m}\right)$

tan (x + y) nhỏ nhất $\iff$ $\frac{4m}{5}+\frac{1}{5m}$  nhỏ nhất

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\frac{4m}{5}+\frac{1}{5m}$ ≥ $2\sqrt{\frac{4m}{5}.\frac{1}{5m}}=\frac{4}{5}$

Dấu đẳng thức xảy ra $\iff$ $\frac{4m}{5}=\frac{1}{5m}$  $\iff$ m = $\frac{1}{2}$

Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m = $\frac{1}{2}$

Do đó $\widehat{KAM}$  lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1a