Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M bất kì và số thực k dương. Biết điểm M thỏa mãn đẳng thức $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=k$. Quỹ tích của điểm M là

Đáp án đúng là: C

Ba lực F1, F2, F3 cùng tác động vào một vật tại điểm M được mô tả như hình vẽ trên.

Do vật đó đứng yên nên ta có $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$ 

Hay $\overrightarrow{MC}=-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)$ 

Vẽ hình vuông AMBD. Khi đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MD}$.

Suy ra $\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MD}\Rightarrow \left|\overrightarrow{MC}\right|=\left|-\overrightarrow{MD}\right|=\left|\overrightarrow{DM}\right|=DM$.

Xét tam giác AMD vuông tại A có AM = AD = 100, theo định lí Pythagore ta có:

MD2 = MA2 + AD2

Suy ra MD = $\sqrt{M{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{{100}^2+{100}^2}=100\sqrt{2}$.

Do đó MC = $100\sqrt{2}$, vậy độ lớn lực F3 là $100\sqrt{2}N$.

Đáp án đúng là : B 

Ta có: $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$

$=2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)+4\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right).$

$=9\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}$

Ta chọn điểm I sao cho $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}.$   (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{IG}$      (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}$

$\iff 9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\iff 9\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{CA}$     (3)

Do đó $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$

$\iff \left|9\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|$

$\iff \left|9\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|$  (do $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$)

$\iff 9MI=AB\iff IM=\frac{AB}{9}$

Vì I là điểm cố định thỏa mãn (3) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính $R=\frac{AB}{9}=\frac{a}{9}.$