Cho các Parabol $\left(P_1\right):y=f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x,\left(P_2\right):y=g\left(x\right)=a{x}^2-4ax+b\left(a>0\right)$ có các đỉnh lần lượt là $I_1,I_2$ . Gọi $A,B$ là giao điểm của $\left(P_1\right)$  và $Ox$ . Biết rằng 4 điểm tạo $A,B,I_1,I_2$ thành tứ giác lồi có diện tích bằng$10.$ Tính diện tích S  của tam giác $IAB$ với là đỉnh của Parabol $\left(P\right):y=h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right).$

Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó CD=6m , AD=4m , phía trên cổng có dạng hình parabol

Người ta cần thiết kế cổng sao cho những chiến xe container chở hàng với bề ngang thùng xe là 4m, chiều cao là 5,2mcó thể đi qua được (chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng xe và thùng xe có dạng hình hộp chữ nhật). Hỏi đỉnh I của parabol (theo mép dưới của cổng) cách mặt đất tối thiểu là bao nhiêu ?

Tìm các giá trị của tham số m  để cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)=x^2+\left(2m+1\right)x+m^2-1$ Trên đoạn $\left[0;1\right]$  bằng 1.

Cho hàm số: $y=f\left(x\right)=m{x}^2-2x-m-1\left(C\right)$

Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số (C) đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số $y=\sqrt{1-\left|2x^2+mx+m+15\right|}$ . Có bao nhiêu giá trị của tham số m  để hàm số xác định trên đoạn $\left[1;3\right]$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=4x^2-4ax+(a^2-2a+2)$

Có bao nhiêu giá trị của a  sao cho giá trị nhỏ nhất củatrên đoạn $\text{[}0;2]$  là bằng  5?

Cho Parabol $\left(P\right):y=\frac{1}{2}{x}^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=\left(m+1\right)x-m^2-\frac{1}{2}$ ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m thì đường thẳng (d)  cắt Parabol (P)  tại hai điểm $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$  sao cho biểu thức $T=y_1+y_2-x_1{x}_2-(x_1+x_2)$ đạt giá trị nhỏ nhất.