Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\left(m+1\right)\sin x+2-m=0$ có nghiệm.

Ta có $\cot x=\sqrt{3}\iff \cot x=\cot \frac{\pi }{6}\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Theo giả thiết, ta có $0\le \frac{\pi }{6}+k\pi \le 2018\pi \stackrel{\text{xap xi}}{\to }-\frac{1}{6}\le k\le 2017,833$

$3\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k\in \left\{0;1;\mathrm{...};2017\right\}$. Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D

Ta có $2\sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)-1=0\iff \sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff \sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff \left[\begin{array}{l}4x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 4x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 4x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

TH1. Với $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\stackrel{\text{Cho}>0}{\to }\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}>0\iff k>-\frac{1}{4}\to k_{\min }=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{8}.$

TH2. Với $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\stackrel{\text{Cho}>0}{\to }\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}>0\iff k>-\frac{7}{12}\to k_{\min }=0\Rightarrow x=\frac{7\pi }{24}.$

So sánh hai nghiệm ta được $x=\frac{\pi }{8}$  là nghiệm dương nhỏ nhất. Chọn C