Tích các nghiệm của phương trình $\sqrt{x+2}+\sqrt{5-2x}$= $\sqrt{2x}+\sqrt{7-3x}$. (1)

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ 5-2\text{x}\ge 0\\ 2\text{x}\ge 0\\ 7-3\text{x}\ge 0\end{array}\right.$ Û $\left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x\le \frac{5}{2}\\ x\ge 0\\ x\le \frac{7}{3}\end{array}\right.$ $\iff$ $0\le x\le \frac{7}{3}$

Phương trình (1)

$\iff$ ${\left(\sqrt{\text{x}+2}+\sqrt{5-2\text{x}}\right)}^2={\left(\sqrt{2\text{x}}+\sqrt{7-3\text{x}}\right)}^2$

 x + 2 + 5 – 2x + $2\sqrt{\left(\text{x}+2\right)\left(5-2\text{x}\right)}$= 2x + 7 – 3x + $2\sqrt{2\text{x}\left(7-3\text{x}\right)}$

 $2\sqrt{\left(\text{x}+2\right)\left(5-2\text{x}\right)}$= $2\sqrt{2\text{x}\left(7-3\text{x}\right)}$

 (x + 2)(5 – 2x) = 2x(7 – 3x)

 −2x2 + x + 10 = 14x – 6x2

 4x2 – 13x + 10 = 0

 x = 2 hay x = $\frac{5}{4}$.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là 2 + $\frac{5}{4}$= $\frac{13}{4}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi số ki-lô-mét đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S là x (km) (x > 0).

Khi đó trên hình vẽ ta có: SA = x (km), AB = 4 (km), BC = 1 (km).

Ta thấy AB = SA + SB, suy ra SB = AB – SA = 4 – x (km). (Vì SB > 0 nên 4 – x > 0 hay x < 4)

Lại có tam giác SBC vuông tại B nên theo định lý Pytago ta có:

SC² = BC² + BS² = 1² + (4 – x)² = 1 + 16 – 8x + x² = x² – 8x + 17

Suy ra SC = $\sqrt{x^2-8x+17}$(km)

Vì tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S là 4 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S là: 4x (triệu đồng).

Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ S đến C là 6 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ S đến C là: $6\sqrt{x^2-8x+17}$ (triệu đồng).

Tổng số tiền công thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S và từ S đến C là 25 triệu đồng nên ta có phương trình: 4x + $6\sqrt{x^2-8x+17}$= 25 (1)

Giải phương trình (1)

Ta có: (1) $\iff$ $6\sqrt{x^2-8x+17}$= 25 – 4x (Điều kiện: 25 – 4x > 0 Û x < $\frac{25}{4}$)

$\iff$ 36(x² – 8x + 17) = (25 − 4x)²

$\iff$ 36x² – 288x + 612 = 625 – 200x + 16x²

$\iff$ 20x² – 88x – 13 = 0

$\iff$ $\left[\begin{array}{c}x\approx \mathrm{4,54}\left(n\right)\\ x\approx -\mathrm{0,14}\left(l\right)\end{array}\right.$

Do đó số ki-lô-mét đường dây từ vị trí A đến S là 4,54 (km).

Số ki-lô-mét đường dây từ vị trí S đến C là: $\sqrt{x^2-8x+17}$= $\sqrt{{\left(\mathrm{4,54}\right)}^2-\mathrm{8.4,54}+17}$= 1,14 (km).

Vậy tổng số ki-lô-mét đường dây đã thiết kế là 4,54 + 1,14 = 5,68 (km).