Tích các nghiệm của phương trình $\sqrt{x+2}+\sqrt{5-2x}$= $\sqrt{2x}+\sqrt{7-3x}$. (1)

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ 5-2\text{x}\ge 0\\ 2\text{x}\ge 0\\ 7-3\text{x}\ge 0\end{array}\right.$ Û $\left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x\le \frac{5}{2}\\ x\ge 0\\ x\le \frac{7}{3}\end{array}\right.$ $\iff$ $0\le x\le \frac{7}{3}$

Phương trình (1)

$\iff$ ${\left(\sqrt{\text{x}+2}+\sqrt{5-2\text{x}}\right)}^2={\left(\sqrt{2\text{x}}+\sqrt{7-3\text{x}}\right)}^2$

 x + 2 + 5 – 2x + $2\sqrt{\left(\text{x}+2\right)\left(5-2\text{x}\right)}$= 2x + 7 – 3x + $2\sqrt{2\text{x}\left(7-3\text{x}\right)}$

 $2\sqrt{\left(\text{x}+2\right)\left(5-2\text{x}\right)}$= $2\sqrt{2\text{x}\left(7-3\text{x}\right)}$

 (x + 2)(5 – 2x) = 2x(7 – 3x)

 −2x2 + x + 10 = 14x – 6x2

 4x2 – 13x + 10 = 0

 x = 2 hay x = $\frac{5}{4}$.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là 2 + $\frac{5}{4}$= $\frac{13}{4}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:$\sqrt{\text{x}+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2\text{x}}$

 $\sqrt{\text{x}+4}=\sqrt{1-2\text{x}}+\sqrt{1-x}$

⇒ x + 4 = 1 – 2x + 1 – x + $2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-2\text{x}\right)}$  (bình phương hai vế)

 4x + 2 = $2\sqrt{2{\text{x}}^2-3\text{x}+1}$

 2x + 1 = $\sqrt{2{\text{x}}^2-3\text{x}+1}$ (*)

Trước hết ta giải bất phương trình 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{1}{2}$.

Bình phương hai vế của (*) ta được: 4x2 + 4x + 1 = 2x2 – 3x + 1

⇔ 2x2 + 7x = 0

⇔ x(2x + 7) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = $\frac{-7}{2}$.

Do x ≥ $\frac{-1}{2}$ nên ta chọn x = 0.

Thay x = 0 vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0, đây không là số nguyên âm cũng không là số nguyên dương.