Hai chiếc ô tô A và B cùng xuất phát từ hai địa điểm, di chuyển theo đường thẳng. Trên màn hình ra đa (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo km), sau khi xuất phát t (giờ) (t ≥ 0), vị trí của ô tô A có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = t\end{array} \right.\), vị trí của ô tô B có tọa độ Q(t; 3 + 2t). Góc giữa hai đường đi của hai ô tô A và B bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm.

Ta có ∆ đi qua điểm A(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_\Delta } = \left( {A;B} \right)\).

Suy ra phương trình tổng quát của ∆ có dạng: A(x + 2) + B(y – 0) = 0.

⇔ Ax + By + 2A = 0.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {1;3} \right)\).

Theo đề, ta có góc giữa hai đường thẳng ∆ và d bằng 45°.

\( \Leftrightarrow \cos 45^\circ = \frac{{\left| {1.A + 3.B} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt {5\left( {{A^2} + {B^2}} \right)} \)

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được: (A + 3B)² = 5(A² + B²)

⇔ A² + 6AB + 9B² = 5A² + 5B²

⇔ 4A² – 6AB – 4B² = 0    (1)

Trường hợp 1: B = 0.

Ta suy ra 4A² = 0. Khi đó A = 0.

Vì vậy ta loại trường hợp 1 vì A và B không thể đồng thời bằng 0.

Trường hợp 2: B ≠ 0.

Ta chia 2 vế của phương trình (1) cho B², ta được: \(4{\left( {\frac{A}{B}} \right)^2} - 6.\left( {\frac{A}{B}} \right) - 4 = 0\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\\\frac{A}{B} = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\ - 2A = B\end{array} \right.\)

Với A = 2B, ta chọn B = 1. Suy ra A = 2.

Khi đó ta có phương trình ∆: 2x + y + 4 = 0.

Với B = –2A, ta chọn A = 1. Suy ra B = –2.

Khi đó ta có phương trình ∆: x – 2y + 2 = 0.

Vậy ta có 2 đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là 2x + y + 4 = 0 hoặc x – 2y + 2 = 0.

Do đó ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( {2; - 3} \right)\).

⦁ Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( { - 3; - 4m} \right)\).

Suy ra đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_2} = \left( {4m; - 3} \right)\).

Vì d₁ ⊥ d₂ nên \({\vec n_1} \bot {\vec n_2}\).

\( \Leftrightarrow {\vec n_1}.{\vec n_2} = 0\)

⇔ 2.4m – 3.(–3) = 0

⇔ 8m + 9 = 0

\( \Leftrightarrow m = - \frac{9}{8}\).

Vậy \(m = - \frac{9}{8}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án C.