5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm.

Ta có ∆ đi qua điểm A(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_\Delta } = \left( {A;B} \right)\).

Suy ra phương trình tổng quát của ∆ có dạng: A(x + 2) + B(y – 0) = 0.

⇔ Ax + By + 2A = 0.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {1;3} \right)\).

Theo đề, ta có góc giữa hai đường thẳng ∆ và d bằng 45°.

\( \Leftrightarrow \cos 45^\circ = \frac{{\left| {1.A + 3.B} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt {5\left( {{A^2} + {B^2}} \right)} \)

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được: (A + 3B)² = 5(A² + B²)

⇔ A² + 6AB + 9B² = 5A² + 5B²

⇔ 4A² – 6AB – 4B² = 0    (1)

Trường hợp 1: B = 0.

Ta suy ra 4A² = 0. Khi đó A = 0.

Vì vậy ta loại trường hợp 1 vì A và B không thể đồng thời bằng 0.

Trường hợp 2: B ≠ 0.

Ta chia 2 vế của phương trình (1) cho B², ta được: \(4{\left( {\frac{A}{B}} \right)^2} - 6.\left( {\frac{A}{B}} \right) - 4 = 0\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\\\frac{A}{B} = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\ - 2A = B\end{array} \right.\)

Với A = 2B, ta chọn B = 1. Suy ra A = 2.

Khi đó ta có phương trình ∆: 2x + y + 4 = 0.

Với B = –2A, ta chọn A = 1. Suy ra B = –2.

Khi đó ta có phương trình ∆: x – 2y + 2 = 0.

Vậy ta có 2 đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là 2x + y + 4 = 0 hoặc x – 2y + 2 = 0.

Do đó ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)\). Suy ra \(AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \).

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)\).

Suy ra đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{AB}} = \left( {1;3} \right)\).

Đường thẳng AB đi qua A(2; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)\).

Suy ra phương trình tổng quát của AB: 1(x – 2) + 3(y – 2) = 0.

⇔ x + 3y – 8 = 0.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(–8; 0) và có vectơ chỉ phương \({\vec u_\Delta } = \left( {2;1} \right)\).

Suy ra phương trình tham số của ∆: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 8 + 2t\\y = t\end{array} \right.\)

Ta có C ∈ ∆. Suy ra tọa độ C(2t – 8; t).

Theo đề, ta có diện tích tam giác ABC bằng 17.

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}d\left( {C,AB} \right).AB = 17\).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{\left| {2t - 8 + 3t - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}.\sqrt {10} = 17\)

⇔ |5t – 16| = 34

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t - 16 = 34\\5t - 16 = - 34\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - \frac{{18}}{5}\end{array} \right.\)

Với t = 10, ta có C(12; 10).

Với \(t = - \frac{{18}}{5}\), ta có \(C\left( { - \frac{{76}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)\).

Vậy C(12; 10) hoặc \(C\left( { - \frac{{76}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( {2; - 3} \right)\).

⦁ Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( { - 3; - 4m} \right)\).

Suy ra đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_2} = \left( {4m; - 3} \right)\).

Vì d₁ ⊥ d₂ nên \({\vec n_1} \bot {\vec n_2}\).

\( \Leftrightarrow {\vec n_1}.{\vec n_2} = 0\)

⇔ 2.4m – 3.(–3) = 0

⇔ 8m + 9 = 0

\( \Leftrightarrow m = - \frac{9}{8}\).

Vậy \(m = - \frac{9}{8}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( {1;2} \right)\).

Suy ra đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = \left( {2; - 1} \right)\).

⦁ Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( {3; - m} \right)\).

Theo đề, ta có góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 30°.

⇔ cos(d₁, d₂) = cos30°

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.3 - 1.\left( { - m} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - m} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 6} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 9} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2\left| {m + 6} \right| = \sqrt {15\left( {{m^2} + 9} \right)} \)

⇔ 4(m + 6)² = 15(m² + 9)

⇔ 11m² – 48m – 9 = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{24 + 15\sqrt 3 }}{{11}} \approx 4,54\\m = \frac{{24 - 15\sqrt 3 }}{{11}} \approx - 0,18\end{array} \right.\]

Vậy m ≈ 4,54 hoặc m ≈ –0,18 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Ô tô A di chuyển theo hướng có vectơ chỉ phương \({\vec u_A} = \left( { - 2;1} \right)\).

Ô tô B di chuyển theo hướng có vectơ chỉ phương \({\vec u_B} = \left( {1;2} \right)\).

Gọi α là góc giữa hai đường đi của hai ô tô A và B.

Ta có: \[\cos \alpha = \left| {\cos \left( {{{\vec u}_A};{{\vec u}_B}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec u}_A}.{{\vec u}_B}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_A}} \right|.\left| {{{\vec u}_B}} \right|}}\]

\[ = \frac{{\left| { - 2.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = 0\].

Suy ra α = 90°.

Vậy góc giữa hai đường đi của hai ô tô A và B bằng 90°.

Do đó ta chọn phương án D.