Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu đường cao AH cũng là đường phân giác thì tam giác ABC cân tại A.

Kéo dài AO cắt BC tại M.

Xét tam giác ACE và tam giác ABF.

AC = AB ( do tam giác ABC cân tại A)

AE = AF (gt)

Góc A chung

Vậy tam giác ACE bằng tam giác ABF theo trường hợp c.g.c. Suy ra CE = BF.

Xét tam giác ECB và tam giác FBC

$\widehat{\text{EBC}}=\widehat{\text{FCB}}$ ( do tam giác ABC cân tại A)

CE = BF

Cạnh chung BC

Vậy tam giác ECB bằng tam giác FBC theo trường hơpk c.g.c. Suy ra $\widehat{\text{ECB}}=\widehat{\text{FBC}}\text{}$ hay $\widehat{\text{OCB}}=\widehat{\text{OBC}}\text{}$ nên tam giác OBC cân tại O. Ta có OB = OC hay O nằm trên đường trung trực của BC (1).

AB = AC ( do tam giác ABC cân tại A) nên A nằm trên đường trung trực của BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC.

Từ G hạ đường vuông góc GK xuống AB.

Do PA = PB nên 2S_∆APG = AP.GK = BP.GK = 2S_∆BGP.

Từ A hạ đường vuông góc AL xuống CP.

Do GC = 2 GP nên 2S_∆AGP = PG. AL = $\frac{1}{2}$GC.AL = 2S_∆AGC.

Vậy 2S_∆APG = 2S_∆BGP = S_∆AGC.