Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều. A. 32 B. 23 C. 12 D. 13

Giả sử tứ diện đều đã cho là ABCD có cạnh a . Ta có: (ABC) ∩ (BCD) = BC Gọi E là trung điểm BC nên BE=CE=a2 Vì tam giác ABC đều có AE là trung tuyến nên AE là đường cao Hay AE ⊥ BC Vì tam giác DBC đều có DE là trung tuyến nên DE là đường cao Hay DE ⊥ BC Khi đó ABC;BCD^=AE,DE^=AED^ Xét tam giác ECD có DE=DC2−EC2=a2−a22=a32 Xét tam giác ECA có AE=AC2−EC2=a2−a22=a32 Áp dụng hệ quả của định lý cosin trong tam giác AED có cosAED^=AE2+DE2−AD22AE.DE=3a24+3a24−a22.a32.a32=a223a22=13 Vậy ta chọn đáp án D.

Câu hỏi:

07/04/2025 7,992

Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều.

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 119 câu Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều. A. căn bậc hai 3/2 B. căn bậc hai 2/3 C. 1/2 D. 1/3 (ảnh 1)

Giả sử tứ diện đều đã cho là ABCD có cạnh a .

Ta có: (ABC) ∩ (BCD) = BC

Gọi E là trung điểm BC nên $B E = C E = \frac{a}{2}$

Vì tam giác ABC đều có AE là trung tuyến nên AE là đường cao

Hay AE ⊥ BC

Vì tam giác DBC đều có DE là trung tuyến nên DE là đường cao

Hay DE ⊥ BC

Khi đó $\hat{((A B C); (B C D))} = \hat{(A E,DE)} = \hat{A ED}$

Xét tam giác ECD có $D E = \sqrt{D C^{2} - E C^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác ECA có $A E = \sqrt{A C^{2} - E C^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Áp dụng hệ quả của định lý cosin trong tam giác AED có

$c o s \hat{A ED} = \frac{A E^{2} + D E^{2} - A D^{2}}{2 AE . D E} = \frac{\frac{3 a^{2}}{4} + \frac{3 a^{2}}{4} - a^{2}}{2. \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{\frac{3 a^{2}}{2}} = \frac{1}{3}$

Vậy ta chọn đáp án D.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?

A. 30^o

B. 45^o

C. 90^o

D. 60^o

Lời giải

Chọn D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

Ta có: $S C ⊥ B D$ (vì $B D ⊥ A C, B D ⊥ S A$ )

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ $O I ⊥ S C$ thì ta có $S C ⊥ (B I D)$

Khi đó $(\hat{(S B C), (S C D)}) = \hat{B I D}$

Trong tam giác SAC , kẻ đường cao AH thì $A H = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Mà O là trung điểm AC và OI // AH nên $O I = \frac{a}{\sqrt{6}}$

Tam giác IOD vuông tại O có $t a n \hat{O I D} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{O I D} = 60^{0}$

Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) hợp với nhau một góc 60^o

Câu 2

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a \sqrt{2}$ và chiều cao bằng $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

A. 30^o

B. 45^o

C. 60^o

D. 75^o

Lời giải

Chọn B

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a căn bậc hai 2 và chiều cao bằng a căn bậc hai hai/2. Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy. (ảnh 1)

Giả sử hình chóp đã cho là S.ABCD có đường cao SH

Ta có: $(A B C D) \cap (S C D) = C D$

Gọi M là trung điểm của CD => dễ chứng minh được $S M ⊥ C D$ và $H M ⊥ C D$

$\Rightarrow ((A B C D), (S C D)) = (H M, S M) = \hat{S M H}$

Mặt khác: $H M = \frac{1}{2} A D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H, ta có :

$\tan \hat{S M H} = \frac{S H}{H M} = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{2}{a \sqrt{2}} = 1 \Rightarrow \hat{S M H} = 45 °$

Câu 3

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a . Gọi M là trung điểm SC . Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng:

A. 90°

B. 60°

C. 45°

D. 30°

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có tâm O và $S A ⊥ (A B C D)$ . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc

\hat{A B S}

(S A C) ⊥ (S B D)

C. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc

\hat{S O A}

D. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc

\hat{S D A}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

A. 30°

B. 90°

C. 60°

D. 45°

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc $\hat{B A D} = 60^{0}$ . Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và $S O = \frac{3 a}{4}$ . Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE . Góc giữa hai mặt phẳng (SOF) và (SBC) là

A. 90°

B. 60°

C. 30°

D. 45°

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng a . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $\cos α = \frac{1}{3}$

B. $\cos α = \frac{1}{4}$

C. $α = 60^{0}$

D. $\cos α = \frac{1}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học