Phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai bằng 2 và tiêu cự bằng 4 là

Đáp án:

Gọi tọa độ các điểm A, B và M là A(x_A; y_A); B(x_B; y_B) và M(x_M; y_M).

Vì A thuộc d₁ nên 2x_A – y_A – 2 = 0. Suy ra y_A = 2x_A – 2.

Vì B thuộc d₂ nên x_B + y_B + 3 = 0. Suy ra y_B = – x_B – 3.

Do M là trung điểm của đoạn AB nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 6\\\left( {2{x_A} - 2} \right) + \left( { - {x_B} - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{11}}{3}\\{y_A} = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\).

Suy ra \(A\left( {\frac{{11}}{3};\,\,\frac{{16}}{3}} \right)\).

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A và điểm M.

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{2}{3};\,\, - \frac{{16}}{3}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AM}}} = \left( {1;\,\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AM}}} = \left( {8;\,\, - 1} \right)\).

Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 0) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AM}}} \) nên có phương trình là

8(x – 3) – (y – 0) = 0 hay 8x – y – 24 = 0.

Đáp án đúng là: D

Từ phương trình (E) ta suy ra a = 5, b = 3, do đó \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\).

Tiêu cự của (E) là 2c = 8.