Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3m{x}^2+3\left(m+1\right)x-4$ có đồ thị (C). Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-30;30\right]$ để đồ thị (C) cắt tia Ox tại đúng một điểm. Số phần tử của tập S :

Chọn B

Dễ dàng nhẩm được x = 1 là nghiệm. Suy ra ta đưa phương trình hoành độ giao điểm về dạng:

$x^3-3m{x}^2+3\left(m+1\right)x-4\iff \left(x-1\right)\left(x^2-\left(3m-1\right)x+4\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ g\left(x\right)=x^2-\left(3m-1\right)x+4=0\end{array}\right.$

Chú ý rằng, yêu cầu bài toán là đồ thị (C) cắt tia Ox tức là cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ không âm. Xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình $g\left(x\right)=x^2-\left(3m-1\right)x+4=0$ vô nghiệm

Suy ra ${\left(3m-1\right)}^2-16<0\iff -1<m<\frac{5}{3}$ 

Trường hợp 2: Phương trình $g\left(x\right)=x^2-\left(3m-1\right)x+4=0$ có nghiệm kép bằng 1 hoặc nghiệm kép âm

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{\left(3m-1\right)}^2-16=0\\ \left[\begin{array}{l}{x}_0=\frac{3m-1}{2}=1\\ x_0=\frac{3m-1}{2}<0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=\frac{5}{3}\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m=1\\ m<\frac{1}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m=-1$ 

Trường hợp 3: Phương trình $g\left(x\right)=x^2-\left(3m-1\right)x+4=0$ có 2 nghiệm phân biệt âm

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{\left(3m-1\right)}^2-16>0\\ x_1+x_2=\left(3m-1\right)<0\\ x_1.x_2=4>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<-1\vee m>\frac{5}{3}\\ m<\frac{1}{3}\\ \forall m\end{array}\right.\iff m<-1$ 

Kết hợp cả ba trường hợp $m<\frac{5}{3}\stackrel{m\in \mathbb{Z},m\in \left[-30;30\right]}{\to }m=\left\{-30;-29;\mathrm{...};1\right\}=32$ giá trị.