Cho tứ diện ABCD có $D A ⊥ (A B C)$ , AC = AD = 4, AB = 3, CD = 5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)

A. $\frac{12}{5}$

B. $\frac{12}{\sqrt{34}}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{6}{\sqrt{34}}$

D. $\frac{\sqrt{34}}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 11 Bài 6: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B.

Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc mp ABC, AC = AD = 4, AB = 3, CD = 5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) (ảnh 1)

Vì $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ nên $Δ A B C$ vuông tại A

Cách 1: Sử dụng tính chất tam giác vuông

Dựng $A I ⊥ B C \Rightarrow A I . B C = A B . A C \Rightarrow A I = \frac{A B . A C}{B C} = \frac{3.4}{5} = \frac{12}{5}$

Dựng $A H ⊥ D I \Rightarrow A H ⊥ (B C D) \Rightarrow A H = d (A; (B C D))$

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{16} + \frac{1}{\frac{144}{25}} = \frac{1}{16} + \frac{25}{144} = \frac{34}{144} \Rightarrow A H = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{34}} = \frac{12}{\sqrt{34}}$

Cách 2: Vì tứ diện vuông tại nên áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} \Rightarrow A H = \frac{12}{\sqrt{34}}$