Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}$ và $d_2:\frac{x+2}{-2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-3}{2}$. Hãy lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng $d_1;d_2$; sao cho ba đường thẳng $d;d_1;d_2$đồng quy và khoảng cách từ gốc tọa độ O với đường thẳng d là lớn nhất:

Chọn A

Dễ dàng tìm được giao điểm của hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=t_1\\ y=1+2t_1\\ z=-1-2t_1\end{array}\right.$và $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=-2-2t_2\\ y=-3+t_2\\ z=3+2t_2\end{array}\right.$

$d_1\cap d_2:\left\{\begin{array}{l}x=t_1=-2-2t_2\\ y=1+2t_1=-3+t_2\\ z=-1-2t_1=3+2t_2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{t}_1=-2\\ t_2=0\end{array}\right.$$\Rightarrow d_1\cap d_2=I(-2;-3;3)$

Nếu gọi (P) là mặt phẳng chứa ba đương thẳng $d,d_1,d_2$$\Rightarrow$cặp VTCP của (P) và ${\overrightarrow{u}}_{d_1}=(1;2;-2)$ và ${\overrightarrow{u}}_{d_2}=(-2;1;2)$$\Rightarrow$VTPT của (P) là ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}=\left[{\overrightarrow{u}}_{d_1};{\overrightarrow{u}}_{d_2}\right]=(6;2;5)$

Ta có:$d(O;d)\le OI$. Để khoảng cách từ O đến d lớn nhất thì đường thẳng d vuông góc OI tại I. Hay nói cách khác $\overrightarrow{OI}=(-2;-3;3)$là một véc tơ pháp tuyến của d

Cặp VTPT của d là ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}$và $\overrightarrow{OI}$. Suy ra VTCP của d là: ${\overrightarrow{u}}_d=\left[{\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)};\overrightarrow{OI}\right]=(21;-28;-14)$

Chọn VTCP của đường thẳng d là:$(3;-4;-2)$và d đi qua điểm $I(-2;-3;3).$ Chọn đáp án D