Tính bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x-2y+6z-2=0$

Gọi M là trung điểm AC, suy ra $SM\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SM\perp AC.$

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S. 

Gọi G là trọng tâm $\Delta SAC$, suy ra $GS=GA=GC$   (1)

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có $SM\perp \left(ABC\right)$ nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G  thuộc SM nên suy ra $GA=GB=GC$    (2)

Từ (1)  và (2) , suy ra $GS=GA=GB=GC$ hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC  .

Gọi H là hình chiếu của  xuống $\left(\alpha \right)$

Ta có $d\left[O,\left(\alpha \right)\right]=OH=\frac{R}{2}<R$ nên $\left(\alpha \right)$ cắt S(O;R) theo đường tròn C(H;r).

Bán kính đường tròn $C\left(H;r\right)$ là $r=\sqrt{R^2-O{H}^2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$