Tính S=∫012x3+x2.ex+6x+3.ex+3x2+3dx

Ta có S=∫012x3+x2.ex+6x+3.ex+3x2+3dx=∫012xx2+3+exx2+3+3x2+3dx=∫01ex+2xdx+3∫01dxx2+3=ex+x201+3∫01dxx2+3=e+3∫01dxx2+3.Xét .I=3∫01dxx2+3Đặt x=3tant⇒dx=3dtcos2t.Đổi cận ta có x=0⇒t=0; x=1⇒t=π6.Vậy I=3∫01dxx2+3=333∫0π6dttan2t+1cos2t=∫0π6dt=t0π6=π6.Vậy S=e+π6.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,069

Tính $S = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x^{2} . e^{x} + 6 x + 3. e^{x} + \sqrt{3}}{x^{2} + 3} d x$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có

S = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x^{2} . e^{x} + 6 x + 3. e^{x} + \sqrt{3}}{x^{2} + 3} d x = \int_{0}^{1} \frac{2 x (x^{2} + 3) + e^{x} (x^{2} + 3) + \sqrt{3}}{(x^{2} + 3)} d x

= \int_{0}^{1} (e^{x} + 2 x) d x + \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3} = {(e^{x} + x^{2})|}_{0}^{1} + \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3} = e + \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3}

.
Xét .

I = \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3}

Đặt

x = \sqrt{3} \tan t \Rightarrow d x = \sqrt{3} \frac{d t}{\cos^{2} t}

.
Đổi cận ta có

x = 0 \Rightarrow t = 0; x = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{6}

.
Vậy

I = \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3} = \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{d t}{(\tan^{2} t + 1) \cos^{2} t} = \int_{0}^{\frac{π}{6}} d t = {t|}_{0}^{\frac{π}{6}} = \frac{π}{6}

.
Vậy

S = e + \frac{π}{6}

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - x$ thỏa mãn $F (0) = 2$ , giá trị của F(2) bằng

\frac{8}{3}

\frac{- 8}{3}

C. 2.

D. -5.

Lời giải

Chọn đáp án A

$F (x) = \int f (x) d x = \int (x^{2} - x) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + C F (0) = 2 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 \Rightarrow F (2) = \frac{2^{3}}{3} - \frac{2^{2}}{2} + 2 = \frac{8}{3}$

Câu 2

Khẳng định nào say đây đúng?

\int \cos x d x = \sin x

\int \cos x d x = \sin x + C

\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C

\int x^{2} d x = 2 x + C

Lời giải

Theo bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

\int \cos x d x = \sin x + C

Chọn đáp án C

Câu 3

Cho $A (0; 2; - 2), B (- 3; 1; - 1), C (4; 3; 0), D (1; 2; m) .$ Tìm m để 4 điểm A, B, C đồng phẳng.

m = - 5

m = 5

m = - 1

m = 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (P). Biết $\vec{u} = (1; - 2; 0)$ , $\vec{v} = (0; 2; - 1)$ là cặp vectơ chỉ phương của (P).

\vec{n} = (1; - 2; 0)

\vec{n} = (2; 1; 2)

\vec{n} = (0; 1; 2)

\vec{n} = (2; - 1; 2)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 \ln^{2} x}{x}$ là

\ln^{3} x + \ln x + C

\ln^{3} x + C

\ln^{3} x + x + C

\ln (\ln x) + C

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $A (- 1; 2; 3)$ và chứa trục Oz là $a x + b y = 0$ . Tính tỉ số $T = \frac{a}{b}$ .

A. 2

B. $\frac{1}{2}$

C. -2

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{O M} = 2 \vec{i} + 3 \vec{k}$ . Tọa độ điểm M là

(2; 3; 0)

(2; 0; 3)

(0; 2; 3)

(2; 3)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử