Tính S=∫012x3+x2.ex+6x+3.ex+3x2+3dx

Ta có S=∫012x3+x2.ex+6x+3.ex+3x2+3dx=∫012xx2+3+exx2+3+3x2+3dx=∫01ex+2xdx+3∫01dxx2+3=ex+x201+3∫01dxx2+3=e+3∫01dxx2+3.Xét .I=3∫01dxx2+3Đặt x=3tant⇒dx=3dtcos2t.Đổi cận ta có x=0⇒t=0; x=1⇒t=π6.Vậy I=3∫01dxx2+3=333∫0π6dttan2t+1cos2t=∫0π6dt=t0π6=π6.Vậy S=e+π6.

Câu hỏi:

15/01/2023 907

Tính $S = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x^{2} . e^{x} + 6 x + 3. e^{x} + \sqrt{3}}{x^{2} + 3} d x$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có

S = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x^{2} . e^{x} + 6 x + 3. e^{x} + \sqrt{3}}{x^{2} + 3} d x = \int_{0}^{1} \frac{2 x (x^{2} + 3) + e^{x} (x^{2} + 3) + \sqrt{3}}{(x^{2} + 3)} d x

= \int_{0}^{1} (e^{x} + 2 x) d x + \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3} = {(e^{x} + x^{2})|}_{0}^{1} + \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3} = e + \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3}

.
Xét .

I = \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3}

Đặt

x = \sqrt{3} \tan t \Rightarrow d x = \sqrt{3} \frac{d t}{\cos^{2} t}

.
Đổi cận ta có

x = 0 \Rightarrow t = 0; x = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{6}

.
Vậy

I = \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3} = \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{d t}{(\tan^{2} t + 1) \cos^{2} t} = \int_{0}^{\frac{π}{6}} d t = {t|}_{0}^{\frac{π}{6}} = \frac{π}{6}

.
Vậy

S = e + \frac{π}{6}

.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - x$ thỏa mãn $F (0) = 2$ , giá trị của F(2) bằng

A.

\frac{8}{3}

.

B.

\frac{- 8}{3}

.

C. 2.

D. -5.

Xem đáp án » 12/01/2023 18,239

Câu 2:

Khẳng định nào say đây đúng?

A.

\int \cos x d x = \sin x

.

B.

\int \cos x d x = \sin x + C

.

C.

\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C

.

D.

\int x^{2} d x = 2 x + C

.

Xem đáp án » 12/01/2023 10,473

Câu 3:

Cho $A (0; 2; - 2), B (- 3; 1; - 1), C (4; 3; 0), D (1; 2; m) .$ Tìm m để 4 điểm A, B, C đồng phẳng.

A.

m = - 5

.

B.

m = 5

.

C.

m = - 1

.

D.

m = 1

.

Xem đáp án » 14/01/2023 7,884

Câu 4:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 \ln^{2} x}{x}$ là

A.

\ln^{3} x + \ln x + C

.

B.

\ln^{3} x + C

.

C.

\ln^{3} x + x + C

.

D.

\ln (\ln x) + C

.

Xem đáp án » 14/01/2023 7,622

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (P). Biết $\vec{u} = (1; - 2; 0)$ , $\vec{v} = (0; 2; - 1)$ là cặp vectơ chỉ phương của (P).

A.

\vec{n} = (1; - 2; 0)

.

B.

\vec{n} = (2; 1; 2)

.

C.

\vec{n} = (0; 1; 2)

.

D.

\vec{n} = (2; - 1; 2)

.

Xem đáp án » 13/01/2023 7,017

Câu 6:

Cho $\int_{0}^{1} (x - 3) e^{x} d x = a + b e$ . Tính a - b

A. 1.

B. -7.

C. -1.

D. 7.

Xem đáp án » 14/01/2023 5,359

Câu 7:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Cho hàm số f(x) xác định trên K và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó

F^{'} (x) = f (x)

,

\forall x \in K

.

B.

\int f' (x) d x = f (x) + C

.

C.

\int k f (x) d x = k \int f (x) d x

với là hằng số khác 0.

D. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì

F (x) = G (x) .

Xem đáp án » 15/01/2023 5,335

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tính $S = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x^{2} . e^{x} + 6 x + 3. e^{x} + \sqrt{3}}{x^{2} + 3} d x$

Nhà sách VIETJACK:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - x$ thỏa mãn $F (0) = 2$ , giá trị của F(2) bằng

Khẳng định nào say đây đúng?

Cho $A (0; 2; - 2), B (- 3; 1; - 1), C (4; 3; 0), D (1; 2; m) .$ Tìm m để 4 điểm A, B, C đồng phẳng.

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 \ln^{2} x}{x}$ là

Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (P). Biết $\vec{u} = (1; - 2; 0)$ , $\vec{v} = (0; 2; - 1)$ là cặp vectơ chỉ phương của (P).

Cho $\int_{0}^{1} (x - 3) e^{x} d x = a + b e$ . Tính a - b

Khẳng định nào sau đây sai?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Tính S=∫012x3+x2.ex+6x+3.ex+3x2+3dx

Nhà sách VIETJACK:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=x2−x thỏa mãn F0=2, giá trị của F(2) bằng

Khẳng định nào say đây đúng?

Cho A0;2;−2,B−3;1;−1,C4;3;0,D1;2;m. Tìm m để 4 điểm A, B, C đồng phẳng.

Họ nguyên hàm của hàm số fx=3ln2xx là

Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (P). Biết u→=1;−2;0, v→=0;2;−1 là cặp vectơ chỉ phương của (P).

Cho ∫01x−3exdx=a+be. Tính a - b

Khẳng định nào sau đây sai?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính $S = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x^{2} . e^{x} + 6 x + 3. e^{x} + \sqrt{3}}{x^{2} + 3} d x$

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - x$ thỏa mãn $F (0) = 2$ , giá trị của F(2) bằng

Cho $A (0; 2; - 2), B (- 3; 1; - 1), C (4; 3; 0), D (1; 2; m) .$ Tìm m để 4 điểm A, B, C đồng phẳng.

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 \ln^{2} x}{x}$ là

Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (P). Biết $\vec{u} = (1; - 2; 0)$ , $\vec{v} = (0; 2; - 1)$ là cặp vectơ chỉ phương của (P).

Cho $\int_{0}^{1} (x - 3) e^{x} d x = a + b e$ . Tính a - b