Câu hỏi:

19/08/2025 2,242

Cho hai số thực m và n khác 0 thỏa mãn $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2} .$ Chứng minh rằng trong hai phương trình $x^{2} + m x + n = 0$ và $x^{2} + n x + m = 0$ có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Học kì 2 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Với m, n $\neq 0$

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2} \Rightarrow m n = 2 (m + n)$

Phương trình $x^{2} + m x + n = 0$ (1) có $Δ_{1} = m^{2} - 4 n$

Phương trình $x^{2} + n x + m = 0$ (2) có $Δ_{2} = n^{2} - 4 m$

$Δ_{1} + Δ_{2} = m^{2} + n^{2} - 4 (m + n) \geq 2 m n - 4 (m + n)$ (theo BĐT Cô si)

$Δ_{1} + Δ_{2} \geq 4 (m + n) - 4 (m + n) = 0$

Vậy hai phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 90km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng tốc độ 5km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút. Tính tốc độ của ô tô lúc đi từ A đến B.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là x (km/h), x > 0

Vận tốc của ô tô đi từ B trở về A là x + 5 (km/h)

Thời gian ô tô đi từ A đến B là

\frac{90}{x}

(h)

Thời gian ô tô đi từ B trở về A là

\frac{90}{x + 5}

(h)

Đổi 15 phút =

\frac{1}{4} h .

Thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút nên ta được phương trình

\frac{90}{x} - \frac{90}{x + 5} = \frac{1}{4}

Giải phương trình được x = 40 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là 40km/h

Câu 2

Cho biểu thức $P = \frac{1}{x - 2 \sqrt{x}} - \frac{2}{x - 4}$ với $x \neq 4, x > 0$

a) Rút gọn biểu thức P

Xem đáp án

Lời giải

a) $P = \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)} - \frac{2}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$P = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

Thu gọn ta được $P = \frac{- 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}$

Câu 3

b) Chứng minh rằng P < 0 với mọi $x \neq 4, x > 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K (K khác O). Chứng minh ba điểm K, H, F thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định, $B C = R \sqrt{3} .$ A là điểm di động trên cung lớn BC (A khác B, C) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Kẻ đường kính AF của đường tròn (O), AF cắt BC tại điểm N.
a) Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{108}{x} - \frac{63}{y} = 7 \\ \frac{81}{x} - \frac{84}{y} = 7 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hai số thực m và n khác 0 thỏa mãn $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2} .$ Chứng minh rằng trong hai phương trình $x^{2} + m x + n = 0$ và $x^{2} + n x + m = 0$ có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Cho biểu thức $P = \frac{1}{x - 2 \sqrt{x}} - \frac{2}{x - 4}$ với $x \neq 4, x > 0$

a) Rút gọn biểu thức P

b) Chứng minh rằng P < 0 với mọi $x \neq 4, x > 0$

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{108}{x} - \frac{63}{y} = 7 \\ \frac{81}{x} - \frac{84}{y} = 7 \end{cases}$