Câu hỏi:
30/01/2023 158
Cho tứ diện ABCD có \[AB = BC = AC = CD = DB = a,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. Gọi M là trung điểm của AB, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Đường thẳng AO cắt mặt phẳng \[\left( {MCD} \right)\] tại G. Tính diện tích tam giác GAD.
Cho tứ diện ABCD có \[AB = BC = AC = CD = DB = a,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. Gọi M là trung điểm của AB, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Đường thẳng AO cắt mặt phẳng \[\left( {MCD} \right)\] tại G. Tính diện tích tam giác GAD.
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án B
Phương pháp
Tính độ dài các đoạn GA, GD, AD rồi nhận xét tính chất tam giác GAD.
Cách giải
Tam giác ACD có \[AC = CD = a,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] nên \[A{E^2} = \frac{{A{C^2} + A{D^2}}}{2} - \frac{{C{D^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}\].
Tam giác BCD đều \[ \Rightarrow BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
Tam giác ABE có EM là đường trung tuyến của tam giác AEB nên:
\[E{M^2} = \frac{{E{A^2} + E{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{7{a^2}}}{{16}}\].
Xét tam giác BME và bộ ba điểm A, G, O thẳng hàng có: \[\frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{OB}}{{OE}}.\frac{{GE}}{{GM}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}.2.\frac{{GE}}{{GM}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{GE}}{{GM}} = 1\] hay G là trung điểm của ME.
Xét tam giác ABD có DM là trung tuyến của \[\Delta ABD\] nên \[D{M^2} = \frac{{D{A^2} + B{D^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}\].
Tam giác DME có trung tuyến DG nên \[D{G^2} = \frac{{D{E^2} + D{M^2}}}{2} - \frac{{M{E^2}}}{4} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{8}}}{2} - \frac{{7{a^2}}}{{64}} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\].
Lại có: \[\begin{array}{l}\cos AEM = \frac{{A{E^2} + E{M^2} - A{M^2}}}{{2.AE.EM}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{7{a^2}}}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{2.\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{7{a^2}}}{{16}}} }} = \frac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\\ \Rightarrow A{G^2} = A{E^2} + E{G^2} - 2AE.EG.\cos AEG = \frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{7{a^2}}}{{64}} - 2.\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{7{a^2}}}{{64}}} .\frac{{13}}{{2\sqrt {70} }} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\end{array}\]
Tam giác ADG có \[A{G^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}},A{D^2} = \frac{{3{a^2}}}{4},D{G^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\].
Do đó \[\Delta GAD\] cân tại G.
Gọi H là trung điểm của AD thì \[AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4},G{H^2} = G{A^2} - A{H^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}} - \frac{{3{a^2}}}{{16}} = \frac{{9{a^2}}}{{64}} \Rightarrow GH = \frac{{3a}}{8}\].
Diện tích tam giác \[{S_{GAD}} = \frac{1}{2}.GH.AD = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{8}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}\].
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 4:
Đội tuyển học sinh giỏi môn toán của trường THPT Kim Liên gồm có: 5 học sinh khối 10; 5 học sinh khối 11; 5 học sinh khối 12. Chọn ngẫu nhiên 10 học sinh từ đội tuyển đi tham dự kì thi AMC. Có bao nhiêu cách chọn được học sinh của cả ba khối và có nhiều nhất hai học sinh khối 10?
Xem đáp án »
30/01/2023
1,970
Câu 5:
Đề kiểm tra một tiết môn toán của lớp 12A có 25 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bằng cách chọn ngẫu nhiên mỗi câu một phương án. Tính xác suất để học sinh đó làm đúng đáp án 15 câu.
Xem đáp án »
30/01/2023
1,352
Câu 6:
Tìm số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \[\left| {\sin x - \cos x} \right| + 8\sin x\cos x = 1\] trên đường tròn lượng giác.
Xem đáp án »
30/01/2023
1,299
về câu hỏi!