Câu hỏi:
30/01/2023 206
Cho tứ diện ABCD có \[AB = BC = AC = CD = DB = a,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. Gọi M là trung điểm của AB, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Đường thẳng AO cắt mặt phẳng \[\left( {MCD} \right)\] tại G. Tính diện tích tam giác GAD.
Cho tứ diện ABCD có \[AB = BC = AC = CD = DB = a,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. Gọi M là trung điểm của AB, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Đường thẳng AO cắt mặt phẳng \[\left( {MCD} \right)\] tại G. Tính diện tích tam giác GAD.
Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án B
Phương pháp
Tính độ dài các đoạn GA, GD, AD rồi nhận xét tính chất tam giác GAD.
Cách giải
Tam giác ACD có \[AC = CD = a,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] nên \[A{E^2} = \frac{{A{C^2} + A{D^2}}}{2} - \frac{{C{D^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}\].
Tam giác BCD đều \[ \Rightarrow BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
Tam giác ABE có EM là đường trung tuyến của tam giác AEB nên:
\[E{M^2} = \frac{{E{A^2} + E{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{7{a^2}}}{{16}}\].
Xét tam giác BME và bộ ba điểm A, G, O thẳng hàng có: \[\frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{OB}}{{OE}}.\frac{{GE}}{{GM}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}.2.\frac{{GE}}{{GM}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{GE}}{{GM}} = 1\] hay G là trung điểm của ME.
Xét tam giác ABD có DM là trung tuyến của \[\Delta ABD\] nên \[D{M^2} = \frac{{D{A^2} + B{D^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}\].
Tam giác DME có trung tuyến DG nên \[D{G^2} = \frac{{D{E^2} + D{M^2}}}{2} - \frac{{M{E^2}}}{4} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{8}}}{2} - \frac{{7{a^2}}}{{64}} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\].
Lại có: \[\begin{array}{l}\cos AEM = \frac{{A{E^2} + E{M^2} - A{M^2}}}{{2.AE.EM}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{7{a^2}}}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{2.\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{7{a^2}}}{{16}}} }} = \frac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\\ \Rightarrow A{G^2} = A{E^2} + E{G^2} - 2AE.EG.\cos AEG = \frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{7{a^2}}}{{64}} - 2.\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{7{a^2}}}{{64}}} .\frac{{13}}{{2\sqrt {70} }} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\end{array}\]
Tam giác ADG có \[A{G^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}},A{D^2} = \frac{{3{a^2}}}{4},D{G^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\].
Do đó \[\Delta GAD\] cân tại G.
Gọi H là trung điểm của AD thì \[AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4},G{H^2} = G{A^2} - A{H^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}} - \frac{{3{a^2}}}{{16}} = \frac{{9{a^2}}}{{64}} \Rightarrow GH = \frac{{3a}}{8}\].
Diện tích tam giác \[{S_{GAD}} = \frac{1}{2}.GH.AD = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{8}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}\].
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án A
Phương pháp
Hàm số \[y = \tan x\] xác định khi \[\cos x \ne 0\]
Cách giải
Hàm số \[y = \tan x\] xác định khi \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \].
Nên TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Lời giải
Đáp án B
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về cách xác định mặt phẳng trong không gian.
Cách giải
Đáp án A: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước là sai vì ta cần thêm điều kiện ba điểm này không thẳng hàng.
Đáp án B: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước là đúng.
Đáp án C: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước là sai vì ta cần thêm điều kiện điểm đó nằm ngoài đường thẳng.
Đáp án D: Sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.