Câu hỏi:
30/01/2023 207
Khai triển đa thức \[P\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}\]. Tìm hệ số \[{a_k}\left( {0 \le k \le 10;k \in \mathbb{N}} \right)\] lớn nhất trong khai triển trên.
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án A
Phương pháp
Tìm số hạng tổng quát trong khai triển, đánh giá tìm số hạng lớn nhất.
Cách giải
SHTQ: \[{T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{10 - k}}.{\left( {\frac{2}{3}x} \right)^{10 - k}} = C_{10}^k.\frac{1}{{{3^{10 - k}}}}.\frac{{{2^k}}}{{{3^k}}}.{x^k} = \frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}.{x^k}\].
Hệ số của SHTQ là \[\frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}\].
Ta có: \[\begin{array}{l}\frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^{k + 1}{{.2}^{k + 1}}}}{{{3^{10}}}} \Leftrightarrow C_{10}^k{.2^k} < C_{10}^{k + 1}{.2^{k + 1}} \Leftrightarrow C_{10}^k < 2C_{10}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} < 2.\frac{{10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{10 - k}} < \frac{2}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 < 2\left( {10 - k} \right) \Leftrightarrow 3k < 19 \Leftrightarrow k < \frac{{19}}{3}\end{array}\]
Do đó: \[\frac{{C_{10}^0{{.2}^0}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^1{{.2}^1}}}{{{3^{10}}}} < ... < \frac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}}\] và \[\frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > \frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > ... > \frac{{C_{10}^{10}{{.2}^{10}}}}{{{3^{10}}}}\]
Mà \[\frac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\] nên hệ số lớn nhất là \[\frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\].
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 4:
Đội tuyển học sinh giỏi môn toán của trường THPT Kim Liên gồm có: 5 học sinh khối 10; 5 học sinh khối 11; 5 học sinh khối 12. Chọn ngẫu nhiên 10 học sinh từ đội tuyển đi tham dự kì thi AMC. Có bao nhiêu cách chọn được học sinh của cả ba khối và có nhiều nhất hai học sinh khối 10?
Xem đáp án »
30/01/2023
1,970
Câu 5:
Đề kiểm tra một tiết môn toán của lớp 12A có 25 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bằng cách chọn ngẫu nhiên mỗi câu một phương án. Tính xác suất để học sinh đó làm đúng đáp án 15 câu.
Xem đáp án »
30/01/2023
1,352
Câu 6:
Tìm số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \[\left| {\sin x - \cos x} \right| + 8\sin x\cos x = 1\] trên đường tròn lượng giác.
Xem đáp án »
30/01/2023
1,299
về câu hỏi!