Tìm số tự nhiên n thỏa mãn Cn01.2+Cn12.3+Cn23.4+...+Cnnn+1n+2=2100−n−3n+1n+2.

Câu hỏi:

30/01/2023 832

Tìm số tự nhiên n thỏa mãn $\frac{C_{n}^{0}}{1.2} + \frac{C_{n}^{1}}{2.3} + \frac{C_{n}^{2}}{3.4} + ... + \frac{C_{n}^{n}}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{2^{100} - n - 3}{(n + 1) (n + 2)}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\frac{C_{n}^{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{n!}{k! (n - k)! (k + 1) (k + 2)} = \frac{(n + 2)!}{(n - k)! (k + 2)! (n + 1) (n + 2)} = \frac{C_{n + 2}^{k + 2}}{(n + 1) (n + 2)}$ .

Suy ra: $\sum_{k = 0}^{n} \frac{C_{n}^{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{C_{n + 2}^{k + 2}}{(n + 1) (n + 2)}$

$\Leftrightarrow \frac{C_{n}^{0}}{1.2} + \frac{C_{n}^{1}}{2.3} + \frac{C_{n}^{2}}{3.4} + ... + \frac{C_{n}^{n}}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{C_{n + 2}^{2} + C_{n + 2}^{3} + C_{n + 2}^{4} + ... + C_{n + 2}^{n + 2}}{(n + 1) (n + 2)}$ $(*)$ .

Ta xét khai triển sau: ${(1 + x)}^{n + 2} = C_{n + 2}^{0} + x . C_{n + 2}^{1} + x^{2} . C_{n + 2}^{2} + x^{3} . C_{n + 2}^{3} + ... + x^{n + 2} . C_{n + 2}^{n + 2}$ .

Chọn $x = 1 \overset{}{\to} 2^{n + 2} = C_{n + 2}^{0} + C_{n + 2}^{1} + C_{n + 2}^{2} + C_{n + 2}^{3} + ... + C_{n + 2}^{n + 2}$ .

Do đó: $(*) \Leftrightarrow \frac{2^{100} - n - 3}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{2^{n + 2} - C_{n + 2}^{0} - C_{n + 2}^{1}}{(n + 1) (n + 2)} \Leftrightarrow 2^{100} = 2^{n + 2} \Leftrightarrow n = 98$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tập giá trị của hàm số $y = \cos 2 x$ là

A. R

[- 1; 1] .

[- 2; 2] .

(0; + \infty) .

Lời giải

Chọn B

Vì $\forall x \in ℝ : - 1 \leq \cos 2 x \leq 1$ nên tập giá trị của hàm số y = cos 2xlà $[- 1; 1] .$

Câu 2

Số cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc

10! .

B. 10

C_{10}^{1} .

A_{10}^{1} .

Lời giải

Chọn A

Mỗi cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử.

Vậy số cách sắp xếp là: $P_{10} = 10! .$

Câu 3

Một tổ có 4 học sinh nữ và 7 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.

A. 20

B. 11

C. 30

D. 10

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. $5! .7!$ .

2 . 5! .7!

5! . 8!

12!

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tập $A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\} .$ Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tập A gồm n phần tử, $n \geq 1$ . Số tập con gồm k phần tử của tập A được xác định bởi công thức

A. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} .$

A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!} .

A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}

C_{n}^{k} = \frac{k! n!}{(n - k)!} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Phương trình $\tan x = \tan α$ với $α$ là một số cho trước có các nghiệm là gì?

A. $[\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = - α + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

[\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = - α + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

x = α + k 2 π, k \in ℤ .

x = α + k π, k \in ℤ .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tìm số tự nhiên n thỏa mãn Cn01.2+Cn12.3+Cn23.4+...+Cnnn+1n+2=2100−n−3n+1n+2.

Tập giá trị của hàm số y=cos2xlà

Số cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc

Một tổ có 4 học sinh nữ và 7 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.

Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

Cho tập A=0;1;2;3;4;5;6;7;8. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4.

Cho tập A gồm n phần tử, n≥1. Số tập con gồm k phần tử của tập A được xác định bởi công thức

Phương trình tanx=tanαvới αlà một số cho trước có các nghiệm là gì?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tìm số tự nhiên n thỏa mãn $\frac{C_{n}^{0}}{1.2} + \frac{C_{n}^{1}}{2.3} + \frac{C_{n}^{2}}{3.4} + ... + \frac{C_{n}^{n}}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{2^{100} - n - 3}{(n + 1) (n + 2)}$ .

Tập giá trị của hàm số $y = \cos 2 x$ là

Cho tập $A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\} .$ Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4.

Cho tập A gồm n phần tử, $n \geq 1$ . Số tập con gồm k phần tử của tập A được xác định bởi công thức

Phương trình $\tan x = \tan α$ với $α$ là một số cho trước có các nghiệm là gì?