Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{3}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z+1}{1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-2z-12=0$ . Viết phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (P).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k};\overrightarrow{OB}=-2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$ . Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Trong không gian Oxyz, cho hai M(1,2,3), N(3,4,5) và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+3z-14=0$ . Gọi $∆$ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng (P), các điểm H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M,N trên $∆$. Biết rằng khi $MH=NK$  thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là

Cho điểm A(1,2,3) và hai mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y+z+1=0,\left(Q\right):2x-y+2z-1=0$ .

Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả (P) và (Q) là

Trong không gian Oxyz. Cho điểm E(1,1,1), mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=4$  và mặt phẳng $\left(P\right):x-3y+5z-3=0$ . Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong $\left(P\right)$  và cắt $\left(S\right)$  tại hai điểm $A,B$  sao cho $\Delta OAB$  là tam giác đều. Phương trình tham số của $∆$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình $\frac{x-1}{3}=\frac{3y}{2}=\frac{3-z}{1}$ ?

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2,1,-1), B(-2,3,1) và C(0,-1,3). Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ . Phương trình đường thẳng d là

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1,2,3) và mặt phẳng (P) có phương trình $3x-4y+7z+2=0$ .

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right)$  có phương trình là