Cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=3xyz. Tính giá trị nhỏ nhất của: A=x2zz2+x2+y2xx2+y2+z2yy2+z2

Phương pháp: - Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho xyz. - Đặt a=1x,b=1y,c=1z đưa về tìm GTNN theo a,b,c. - Sử dụng bất đẳng thức a2+b2≥2ab. Cách giải: Ta có: xy+yz+zx=3xyz Chia cả hai vế cho xyz≠0 ta được:1x+1y+1z=3. Đặt a=1x,b=1y,c=1za,b,c>0 thì a+b+c=3. Khi đó x2zz2+x2=1a21c.1c2+1a2=c3a2+c2=c3+ca2−ca2c2+a2=c−ca2c2+a2 y2xx2+y2=1b21a1a2+1b2=a3a2+b2=a3+ab2−ab2a2+b2=a−ab2a2+b2z2yy2+z2=1c21b1b2+1c2=b3b2+c2=b3+bc2−bc2b2+c2=b−bc2b2+c2⇒A=c−ca2c2+a2+a−ab2a2+b2+b−bc2b2+c2=a+b+c−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2=3−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2 Mà c2+a2≥2ca⇒ca2c2+a2≤ca22ca=a2 Tương tự ab2a2+b2≤b2 và bc2b2+c2≤c2 ⇒ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2≤a2+b2+c2=32⇒3−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2≥3−32=32. Vậy A≥32 nên minA=32. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1.

Câu hỏi:

19/08/2025 765

Cho $x, y, z > 0$ và $x y + y z + x z = 3 x y z .$ Tính giá trị nhỏ nhất của: $A = \frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} + \frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} + \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho $x y z .$

- Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z}$ đưa về tìm GTNN theo $a, b, c .$

- Sử dụng bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b .$

Cách giải:

Ta có: $x y + y z + z x = 3 x y z$

Chia cả hai vế cho $x y z \neq 0$ ta được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3.$

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z} (a, b, c > 0)$ thì $a + b + c = 3.$

Khi đó $\frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} = \frac{{(\frac{1}{a})}^{2}}{\frac{1}{c} . (\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}})} = \frac{c^{3}}{a^{2} + c^{2}} = \frac{c^{3} + c a^{2} - c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} = c - \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}}$

$\frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} = \frac{{(\frac{1}{b})}^{2}}{\frac{1}{a} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{3} + a b^{2} - a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = a - \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})} = \frac{{(\frac{1}{c})}^{2}}{\frac{1}{b} (\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})} = \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} = \frac{b^{3} + b c^{2} - b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} = b - \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \Rightarrow A = c - \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + a - \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + b - \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} = (a + b + c) - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}}) = 3 - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}})$

Mà $c^{2} + a^{2} \geq 2 c a \Rightarrow \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} \leq \frac{c a^{2}}{2 c a} = \frac{a}{2}$

Tương tự $\frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{b}{2}$ và $\frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{c}{2}$

$\Rightarrow \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3 - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}}) \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} .$

Vậy $A \geq \frac{3}{2}$ nên $\min A = \frac{3}{2} .$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 1.$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Vẽ đường thẳng $(d_{1})$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2$

$y = 0 \Rightarrow x = - 1$

Đồ thị hàm số $y = 2 x + 2$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $(0; 2)$ và $(- 1; 0)$

Câu 2

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện xác định: $x > 0; x \neq 9$

$P = A . B = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}} . \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x + 7}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x - 9 + 16}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3} + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x} - 3 + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} = (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} - 6$

Với mọi $x > 0, x \neq 9$ ta có: $\sqrt{x} + 3 > 0; \frac{16}{\sqrt{x} + 3} > 0.$

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương $(\sqrt{x} + 3)$ và $\frac{16}{\sqrt{x} + 3}$ ta có:

$(\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} + 3) . \frac{16}{\sqrt{x} + 3}} \Leftrightarrow (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \geq 8 \Leftrightarrow (\sqrt{x} + 3) + \frac{16}{\sqrt{x} + 3} - 6 \geq 2$

Hay $P \geq 2.$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} + 3 = \frac{16}{\sqrt{x} + 3} \Rightarrow {(\sqrt{x} + 3)}^{2} = 16$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x} + 3 = 4 \\ \sqrt{x} + 3 = - 4 (k t m) \end{array} \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1 (t m)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $2 \Leftrightarrow x = 1.$

Câu 3