Cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=3xyz. Tính giá trị nhỏ nhất của: A=x2zz2+x2+y2xx2+y2+z2yy2+z2

Phương pháp: - Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho xyz. - Đặt a=1x,b=1y,c=1z đưa về tìm GTNN theo a,b,c. - Sử dụng bất đẳng thức a2+b2≥2ab. Cách giải: Ta có: xy+yz+zx=3xyz Chia cả hai vế cho xyz≠0 ta được:1x+1y+1z=3. Đặt a=1x,b=1y,c=1za,b,c>0 thì a+b+c=3. Khi đó x2zz2+x2=1a21c.1c2+1a2=c3a2+c2=c3+ca2−ca2c2+a2=c−ca2c2+a2 y2xx2+y2=1b21a1a2+1b2=a3a2+b2=a3+ab2−ab2a2+b2=a−ab2a2+b2z2yy2+z2=1c21b1b2+1c2=b3b2+c2=b3+bc2−bc2b2+c2=b−bc2b2+c2⇒A=c−ca2c2+a2+a−ab2a2+b2+b−bc2b2+c2=a+b+c−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2=3−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2 Mà c2+a2≥2ca⇒ca2c2+a2≤ca22ca=a2 Tương tự ab2a2+b2≤b2 và bc2b2+c2≤c2 ⇒ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2≤a2+b2+c2=32⇒3−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2≥3−32=32. Vậy A≥32 nên minA=32. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1.

Câu hỏi:

05/02/2023 360

Cho $x, y, z > 0$ và $x y + y z + x z = 3 x y z .$ Tính giá trị nhỏ nhất của: $A = \frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} + \frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} + \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho $x y z .$

- Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z}$ đưa về tìm GTNN theo $a, b, c .$

- Sử dụng bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b .$

Cách giải:

Ta có: $x y + y z + z x = 3 x y z$

Chia cả hai vế cho $x y z \neq 0$ ta được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3.$

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z} (a, b, c > 0)$ thì $a + b + c = 3.$

Khi đó $\frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} = \frac{{(\frac{1}{a})}^{2}}{\frac{1}{c} . (\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}})} = \frac{c^{3}}{a^{2} + c^{2}} = \frac{c^{3} + c a^{2} - c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} = c - \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}}$

$\frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} = \frac{{(\frac{1}{b})}^{2}}{\frac{1}{a} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{3} + a b^{2} - a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = a - \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})} = \frac{{(\frac{1}{c})}^{2}}{\frac{1}{b} (\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})} = \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} = \frac{b^{3} + b c^{2} - b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} = b - \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \Rightarrow A = c - \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + a - \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + b - \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} = (a + b + c) - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}}) = 3 - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}})$

Mà $c^{2} + a^{2} \geq 2 c a \Rightarrow \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} \leq \frac{c a^{2}}{2 c a} = \frac{a}{2}$

Tương tự $\frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{b}{2}$ và $\frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{c}{2}$

$\Rightarrow \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3 - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}}) \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} .$

Vậy $A \geq \frac{3}{2}$ nên $\min A = \frac{3}{2} .$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 1.$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Xem đáp án » 13/07/2024 3,672

Câu 2:

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Vẽ đường thẳng $(d_{1})$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xem đáp án » 13/07/2024 2,838

Câu 3:

Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b, với vận tốc trung bình là 2km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh trong 20 phút. Biết đường đi con thuyền là DE, tạo với bờ sông 1 góc bằng $60 °$ .Tính chiều rộng khúc sông

Xem đáp án » 13/07/2024 2,647

Câu 4:

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$

Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD

Chứng minh rằng: CD//OB và $B C . D C = C K . O B .$

Xem đáp án » 13/07/2024 914

Câu 5:

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Cho đường thẳng $(d_{3}) : y = m x + 5.$ Tìm giá trị của m để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ cắt nhau tại một điểm.

Xem đáp án » 13/07/2024 900

Câu 6:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính A khi x=25

Xem đáp án » 05/02/2023 658

Câu 7:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Chứng minh: $B = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} .$

Xem đáp án » 05/02/2023 422

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP