Cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=3xyz. Tính giá trị nhỏ nhất của: A=x2zz2+x2+y2xx2+y2+z2yy2+z2

Phương pháp: - Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho xyz. - Đặt a=1x,b=1y,c=1z đưa về tìm GTNN theo a,b,c. - Sử dụng bất đẳng thức a2+b2≥2ab. Cách giải: Ta có: xy+yz+zx=3xyz Chia cả hai vế cho xyz≠0 ta được:1x+1y+1z=3. Đặt a=1x,b=1y,c=1za,b,c>0 thì a+b+c=3. Khi đó x2zz2+x2=1a21c.1c2+1a2=c3a2+c2=c3+ca2−ca2c2+a2=c−ca2c2+a2 y2xx2+y2=1b21a1a2+1b2=a3a2+b2=a3+ab2−ab2a2+b2=a−ab2a2+b2z2yy2+z2=1c21b1b2+1c2=b3b2+c2=b3+bc2−bc2b2+c2=b−bc2b2+c2⇒A=c−ca2c2+a2+a−ab2a2+b2+b−bc2b2+c2=a+b+c−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2=3−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2 Mà c2+a2≥2ca⇒ca2c2+a2≤ca22ca=a2 Tương tự ab2a2+b2≤b2 và bc2b2+c2≤c2 ⇒ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2≤a2+b2+c2=32⇒3−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2≥3−32=32. Vậy A≥32 nên minA=32. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1.

Câu hỏi:

05/02/2023 342

Cho $x, y, z > 0$ và $x y + y z + x z = 3 x y z .$ Tính giá trị nhỏ nhất của: $A = \frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} + \frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} + \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho $x y z .$

- Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z}$ đưa về tìm GTNN theo $a, b, c .$

- Sử dụng bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b .$

Cách giải:

Ta có: $x y + y z + z x = 3 x y z$

Chia cả hai vế cho $x y z \neq 0$ ta được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3.$

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z} (a, b, c > 0)$ thì $a + b + c = 3.$

Khi đó $\frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} = \frac{{(\frac{1}{a})}^{2}}{\frac{1}{c} . (\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}})} = \frac{c^{3}}{a^{2} + c^{2}} = \frac{c^{3} + c a^{2} - c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} = c - \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}}$

$\frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} = \frac{{(\frac{1}{b})}^{2}}{\frac{1}{a} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{3} + a b^{2} - a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = a - \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})} = \frac{{(\frac{1}{c})}^{2}}{\frac{1}{b} (\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})} = \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} = \frac{b^{3} + b c^{2} - b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} = b - \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \Rightarrow A = c - \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + a - \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + b - \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} = (a + b + c) - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}}) = 3 - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}})$

Mà $c^{2} + a^{2} \geq 2 c a \Rightarrow \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} \leq \frac{c a^{2}}{2 c a} = \frac{a}{2}$

Tương tự $\frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{b}{2}$ và $\frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{c}{2}$

$\Rightarrow \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3 - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}}) \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} .$

Vậy $A \geq \frac{3}{2}$ nên $\min A = \frac{3}{2} .$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 1.$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Xem đáp án » 13/07/2024 3,058

Câu 2:

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Vẽ đường thẳng $(d_{1})$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xem đáp án » 13/07/2024 2,547

Câu 3:

Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b, với vận tốc trung bình là 2km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh trong 20 phút. Biết đường đi con thuyền là DE, tạo với bờ sông 1 góc bằng $60 °$ .Tính chiều rộng khúc sông

Xem đáp án » 13/07/2024 2,503

Câu 4:

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Cho đường thẳng $(d_{3}) : y = m x + 5.$ Tìm giá trị của m để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ cắt nhau tại một điểm.

Xem đáp án » 13/07/2024 857

Câu 5:

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$

Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD

Chứng minh rằng: CD//OB và $B C . D C = C K . O B .$

Xem đáp án » 13/07/2024 803

Câu 6:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính A khi x=25

Xem đáp án » 05/02/2023 488

Câu 7:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Chứng minh: $B = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} .$

Xem đáp án » 05/02/2023 402

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

23 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn thức bậc hai có đáp án

2 đề 45,415 lượt thi Thi thử
21 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai có đáp án

2 đề 13,159 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 12,639 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất)

41 đề 11,853 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 11,012 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 10,452 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 9,428 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

10 đề 9,043 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023

31 đề 8,757 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 8,551 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=3xyz. Tính giá trị nhỏ nhất của: A=x2zz2+x2+y2xx2+y2+z2yy2+z2

Nhà sách VIETJACK:

Cho hai biểu thức: A=x+73x và B=2xx+3+x+1x−3+7x+x9−x với x>0;x≠9 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Cho đường thẳng d1:y=2x+2. Vẽ đường thẳng d1 trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Cho đường thẳng d1:y=2x+2. Cho đường thẳng d3:y=mx+5. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng d1,d2,d3 cắt nhau tại một điểm.

Lấy điểm A trên O;R, vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax, lấy điểm B, trên O;R lấy điểm C sao cho BC=AB. Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD Chứng minh rằng: CD//OB và BC.DC=CK.OB.

Cho hai biểu thức: A=x+73x và B=2xx+3+x+1x−3+7x+x9−x với x>0;x≠9 Tính A khi x=25

Cho hai biểu thức: A=x+73x và B=2xx+3+x+1x−3+7x+x9−x với x>0;x≠9 Chứng minh: B=3xx+3.

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho $x, y, z > 0$ và $x y + y z + x z = 3 x y z .$ Tính giá trị nhỏ nhất của: $A = \frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} + \frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} + \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})}$

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Vẽ đường thẳng $(d_{1})$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Cho đường thẳng $(d_{3}) : y = m x + 5.$ Tìm giá trị của m để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ cắt nhau tại một điểm.

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$

Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD

Chứng minh rằng: CD//OB và $B C . D C = C K . O B .$

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính A khi x=25

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Chứng minh: $B = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} .$