Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\sqrt{x^2+1}\text{d}x$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(0;-2;-1\right),B\left(1;-1;2\right)$. Tìm điểm M trên đoạn thẳng AB sao cho MA = 2MB.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\left(d\right):\frac{x-3}{-2}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-1}{1}$, $\left(d^{\text{'}}\right):x=t;y=-t;z=2$. Đường thẳng đi qua A(0;1;1) cắt (d') và vuông góc với (d) có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có $A\left(3;-2;1\right),B\left(-4;0;3\right),C\left(1;4;-3\right),D\left(2;3;5\right)$. Phương trình mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;-4;1) và chắn trên các trục tọa độ Ox, Oy,Oz theo ba đoạn có độ dài lần lượt là a; b; c. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) khi a; b; c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 là:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;1;-1\right),B\left(0;-1;3\right),C\left(1;2;1\right)$. Mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với AC có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) đường kính AB với $A\left(4;-3;5\right),B\left(2;1;3\right)$ là

Cho hàm số $y={\text{log}}_{a}x$ và $y={\text{log}}_{b}x$ có đồ thị lần lượt là (C) và (C′) (như hình vẽ bên). Đường thẳng x = 9 cắt trục hoành và các đồ thị (C) và (C′) lần lượt tại M, N, P. Biết rằng MN = NP, hãy xác định biểu thức liên hệ giữa a và b.