Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;-3;2\right),B\left(-2;-1;5\right)$ và C(3;2-1). Gọi (P) là mặt phẳng qua A, trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tìm phương trình mặt phẳng (P).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết rằng $A\left(-3;0;0\right),B\left(0;2;0\right),D\left(0;0;1\right)$ và A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C′.

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=-e^{-x}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{m}=\left(4;3;1\right),\overrightarrow{n}=\left(0;0;1\right)$. Gọi $\overrightarrow{p}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\left[\overrightarrow{m};\overrightarrow{n}\right]$ (tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$). Biết $\left|\overrightarrow{p}\right|=15$, tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{p}$.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x^2$ và $y=\sqrt{x}$. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quanh quanh trục Ox.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x - 2y -2z -5 = 0 và mặt cầu (S) có phương trình ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=4$. Tìm phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt có phương trình là $x+y-z=0$; $x-2y+3z=4$ và cho điểm M(1;-2;5). Tìm phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P),v(Q).

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [-1;1] thỏa mãn $\underset{-1}{\overset{1}{}}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=5$ và f(-1)= 4. Tìm f(1).