Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình $f\left[f\left(\cos x\right)-1\right]=0$  có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$ ?

Đặt $t=\cos x$  vì $x\in \left[0;2\pi \right]\Rightarrow t\in \left[-1;1\right]$ ; Đặt $f\left(t\right)-1=v$

Từ ptbd có dạng:  $f\left(v\right)=0$(*).

Sô nghiệm của pt(*) là số giao điểm của hai đồ thị $y=f\left(v\right)$  và đường thẳng y=0

Từ đồ thị suy ra số nghiệm của phương trinh(*) là $\left[\begin{array}{l}v=a_1\in \left(-2;-1\right)\\ v=a_2\in \left(-1;0\right)\\ v=a_3\in \left(1;2\right)\end{array}\right.$

Thay vào phần đặt ta có $\left[\begin{array}{l}f\left(t\right)-1=a_1\in \left(-2;-1\right)\\ f\left(t\right)-1=a_2\in \left(-1;0\right)\\ f\left(t\right)-1=a_3\in \left(1;2\right)\end{array}\right.$

Xét pt: $f\left(t\right)-1=a_1\in \left(-2;-1\right)\iff f\left(t\right)=\left(1+a_1\right)\in \left(-1;0\right)$  . Đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)$  và đường thẳng y=0   cắt nhau tại 3 điểm, chỉ có 1 điểm thỏa mãn có hành độ $t\in \left(-1;0\right)$ . Nên pt $f\left(t\right)-1=t_1\in \left(-2;-1\right)$ có 1 nghiệm $t\in \left(-1;0\right)$ .

Xet pt: $t=\cos x$  với $t\in \left(-1;0\right)$ .

Từ đồ thị hàm sô $y=cosx,x\in \left[0;2\pi \right]$  suy ra pt $t=\cos x$  với $t\in \left(-1;0\right)$  có 2 nghiệm x

Tương tự pt $f\left(t\right)-1=a_2\in \left(-1;0\right)\iff f\left(t\right)=\left(1+a_2\right)\in \left(0;1\right)$  có một nghiệm $t\in \left(-1;0\right)$  suy ra $t=\cos x$  với $t\in \left(-1;0\right)$$t\in \left(-1;0\right)$  có 2 nghiệm x

$f\left(t\right)-1=a_3\in \left(1;2\right)\iff f\left(t\right)=\left(1+a_3\right)\in \left(2;3\right)$ không có nghiệm $t\in \left[-1;1\right]$

KL: PTBĐ có 4 nghiệm.