Tìm m để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-\left(m+1\right)x^2+\left(2m+1\right)x+1$ đạt cực tiểu tại x=3

Gọi $O=AC\cap BD$ , suy ra $SO\perp \left(ABCD\right)$ . Do đó góc giữa SD  và $\left(ABCD\right)$  là  $\widehat{SDO}=60°$ .

Ta có $BD=a\sqrt{2}\Rightarrow OD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  .

Xét tam giác SOD  vuông tại O, ta có $SO=OD.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Ta có $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.a^2=\frac{\sqrt{6}{a}^3}{6}$ .

Xét $f\left(x\right)=2x^3+3\left(3-2m\right)x^2+6\left(m^2-3m\right)x$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=6\left[x^2+\left(3-2m\right)x+m^2-3m\right]=6\left(x-m\right)\left(x-m+3\right)$.

Hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$  đồng biến trên (0,3) .$\iff y^{\text{'}}=\frac{f\left(x\right)f^{\text{'}}\left(x\right)}{\left|f\left(x\right)\right|}\ge 0,\forall x\in \left(0;3\right)$

Trường hợp 1. $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\end{array}\right.,\forall x\in \left(0;3\right)\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=0\ge 0\\ \left(0;3\right)\subset \left(-\infty ;m-3\right]\cup \left[m;+\infty \right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 6\\ m\le 0\end{array}\right.$ .

Do hàm số f(x)  đồng biến trên khoảng (0,3)  nên $f\left(x\right)>f\left(0\right)=0,\forall x\in \left(0;3\right)$ .

Trường hợp 2. $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le 0\\ f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0\end{array}\right.,\forall x\in \left(0;3\right)\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=0\le 0\\ \left(0;3\right)\subset \left[m-3;m\right]\end{array}\right.\iff m=3$  .

Do hàm số f(x)  nghịch biến trên khoảng (0,3)  nên $f\left(x\right)<f\left(0\right)=0,\forall x\in \left(0;3\right)$

Do $m\in \left[-10;10\right],m\in \mathbb{Z}$  nên có 17 số.