Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và $B C$ bằng $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ .ABCA'B'C'

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm của tam giácABC suy ra $A^{'} G ⊥ (A B C)$ .

Gọi I là trung điểm của BC . Từ I kẻ $I H ⊥ A A^{'} (H \in A^{'} A)$ .

Ta có $B C ⊥ A I, B C ⊥ A^{'} G \Rightarrow B C ⊥ I H$

Mà $I H ⊥ A A^{'}$

Suy ra IH là đoạn vuông góc chung của AA' và BC .

Suy ra $d (A A^{'}; B C) = I H = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

$A G = \frac{2}{3} A I = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Ta có $△ A A^{'} G ~ △ A I H \Rightarrow \frac{A^{'} G}{I H} = \frac{A G}{A H} \Rightarrow A' G = \frac{I H . A G}{A H} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{a \sqrt{3}}{3}}{\sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{4})}^{2}}} = \frac{a}{3}$ .

$S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Vậy $V_{A B C . A' B' C'} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho khối hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết , $A B = B C = a, A D = 2 a$ , $S A ⊥ (A B C D)$ và $(S C D)$ hợp với đáy một góc 60 $°$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ .

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

Lời giải

Chọn A

Cho khối hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB= BC= a, AD= 2a, SA vuông góc ( ABCD) và ( SCD) hợp với đáy một góc 60. (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AD

$C I = A B = \frac{A D}{2} \Rightarrow Δ A C D$ vuông tại C .

$\{\begin{matrix} (S C D) \cap (A B C D) = C D \\ C D ⊥ S C \\ C D ⊥ A C \end{matrix} \Rightarrow C D ⊥ (S C A)$ .

Do đó $(\hat{(S C D); (A B C D)}) = \hat{S C A} = 60^{\circ}$ .

$Δ A B C$ vuông cân tại B $\Rightarrow A C = a \sqrt{2}$ .

Trong $Δ S A C$ vuông tại A $\Rightarrow S A = A C . \tan 60^{\circ} = a \sqrt{2} . \sqrt{3} = a \sqrt{6}$ .

V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} S A \frac{1}{2} A B (B C + A D) = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}

Câu 2

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 3}{x + 1} .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Cực tiểu của hàm số bằng -6

B. Cực tiểu của hàm số bằng 1

C. Cực tiểu của hàm số bằng -3

D. Cực tiểu của hàm số bằng 2

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: $D = ℝ \ \{- 1\} .$

$y' = \frac{2 x (x + 1) - x^{2} - 3}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{{(x + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 3 \end{array} .$