Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng \({60^0}\). Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC.

Đáp án B

Phương pháp:

+) Xác định góc giữa mặt bên và đáy.

+) Tính chiều cao h, bán kính đáy R và đường sinh l của hình nón.

+) Sử dụng công thức \({S_{xq}} = \pi Rl\)

Cách giải: Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC ta có:

\(SG \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = SMG = {60^0}\)

Ta có

\(MG = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow SG = MG.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \frac{a}{2} = h\)

\(CG = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = R \Rightarrow l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)

Vậy \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt {21} }}{6} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{6}\)