Hàm số y=x+m3+x+n3-x3 ( tham số m, n) đồng biến trên khoảng −∞;+∞. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4m2+n2−m−n bằng A. −116 B. -16 C. 4 D. 14

Chọn ATa có y'=3x+m2+3x+n2−3x2=3x2+2m+nx+m2+n2Hàm số đồng biến trên −∞; +∞ ⇔a>0Δ≤0⇔mn≤0TH1: mn=0⇔m=0n=0Do vai trò của m,n là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m=0⇒P=4n2−n=2n−12−116≥−1161TH2: m n<0⇔m>0; n<0 (Do vai trò m,n của như nhau).Ta có P=2m−142−116+4n2+−n≥−1162Từ 1,2 ta có Pmin=−116 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m=18;n=0 hoặc m=0;n=18

Câu hỏi:

26/02/2023 411

Hàm số $y = {(x + m)}^{3} + {(x + n)}^{3} - x^{3}$ ( tham số m, n) đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4 (m^{2} + n^{2}) - m - n$ bằng

A. $- \frac{1}{16}$

B. -16

C. 4

D. $\frac{1}{4}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A
Ta có

y^{'} = 3 {(x + m)}^{2} + 3 {(x + n)}^{2} - 3 x^{2} = 3 [x^{2} + 2 (m + n) x + m^{2} + n^{2}]

Hàm số đồng biến trên

(- \infty; + \infty)

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m n \leq 0

TH1:

m n = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ n = 0 \end{array}

Do vai trò của

m, n

là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp

m = 0

\Rightarrow P = 4 n^{2} - n = (2 n - \frac{1}{2}) - \frac{1}{16} \geq - \frac{1}{16} (1)

TH2:

m n < 0 \Leftrightarrow m > 0; n < 0

(Do vai trò

m, n

của như nhau).
Ta có

P = {(2 m - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + 4 n^{2} + (- n) \geq - \frac{1}{16} (2)

Từ

(1), (2)

ta có

P_{\min} = - \frac{1}{16}

. Dấu

" = "

xảy ra khi và chỉ khi

m = \frac{1}{8}; n = 0

hoặc

m = 0; n = \frac{1}{8}

Đang tải chế độ Học...

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ . Biết hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số $y = f (3 - x^{2})$ đồng biến trên khoảng

A. $(2; 3)$

B. $(- 2; - 1)$

C. $(- 1; 0)$

D. $(0; 1)$

Lời giải

Chọn C
Dựa vào đồ thị

f^{'} (x)

ta có

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 6 \\ x = - 1 \\ x = 2 \end{array}

(cả 3 nghiệm đều là nghiệm đơn)
Ta có:

y^{'} = - 2 x . f^{'} (3 - x^{2})

y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 2 x . f^{'} (3 - x^{2}) = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 3 - x^{2} = - 6 \\ 3 - x^{2} = - 1 \\ 3 - x^{2} = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = 9 \\ x^{2} = 4 \\ x^{2} = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 3 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm 1 \end{array}

(cả 7 nghiệm đều là nghiệm đơn)
Nhận xét: Do

f^{'} (x)

mang dấu dương khi

x > 2

(ta gọi là miền ngoài cùng) nên

- 2 x . f^{'} (3 - x^{2})

có miền ngoài cũng cũng mang dấu

(-) . (-) = (+)

nên ta có bảng xét dấu

y^{'} = - 2 x . f^{'} (3 - x^{2})

như sau

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; 0)

Câu 2

Một vật chuyển động theo quy luật $s = \frac{1}{3} t^{3} - t^{2} + 9 t,$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 89 $(m/s)$

B. 109 $(m/s)$

C. 71 $(m/s)$

D. $\frac{25}{3}$ $(m/s)$

Lời giải

Chọn A
Ta có

v (t) = s' (t) = t^{2} - 2 t + 9

Ta có:

v' = 2 t - 2

\Rightarrow v^{'} = 0 \Leftrightarrow t = 1

Tính:

v (1) = 8

v (10) = 89

v (0) = 9

Vậy vận tốc lớn nhất là

89 (m/s)

Câu 3

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị của hàm $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g (x) = f (x^{2} - 2)$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số

g (x)

đồng biến trên

(2; + \infty) .

B. Hàm số $g (x)$ nghịch biến trên $(0; 2) .$

C. Hàm số

g (x)

nghịch biến trên

(- 1; 0) .

D. Hàm số

g (x)

nghịch biến trên

(- \infty; - 2) .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} - 5$ . Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 1)

B. Hàm số nghịch biến với mọi x.

C. Hàm số đồng biến với mọi x.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; 0)

và

(1; + \infty)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trên khoảng $(0; 1)$ hàm số $y = x^{3} + \frac{1}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_{0}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

C. $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 1}$ cách đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số một khoảng bằng 1 là

A. $(0; - 1); (- 2; 7)$

B. $(- 1; 0); (2; 7)$

C. $(0; 1); (2; - 7)$

D. $(0; - 1); (2; 7)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + a x + b}{x^{2} - 1} = \frac{- 1}{2} (a, b \in ℝ) .$ Tổng $S = a^{2} + b^{2}$ bằng

A. $S = 13.$

B. $S = 9.$

C. $S = 4.$

D. $S = 1.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hàm số $y = {(x + m)}^{3} + {(x + n)}^{3} - x^{3}$ ( tham số m, n) đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4 (m^{2} + n^{2}) - m - n$ bằng

Cho hàm số $y = f (x)$ . Biết hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số $y = f (3 - x^{2})$ đồng biến trên khoảng

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị của hàm $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g (x) = f (x^{2} - 2)$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} - 5$ . Kết luận nào sau đây đúng?

Trên khoảng $(0; 1)$ hàm số $y = x^{3} + \frac{1}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_{0}$ bằng

Tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 1}$ cách đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số một khoảng bằng 1 là

Cho $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + a x + b}{x^{2} - 1} = \frac{- 1}{2} (a, b \in ℝ) .$ Tổng $S = a^{2} + b^{2}$ bằng