Chứng minh a3b+b3c+c3a≥ab+bc+ca

Áp dụng BĐT AM - GM ta có: a3b+ab≥2a3b.ab=2a2 (1) b3c+bc≥2b3c.bc=2b2 (2) c3a+ca≥2c3a.ca=2c2 (3) Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có: a3b+ab+b3c+bc+c3a+ca≥2a2+2b2+2c2⇔a3b+b3c+c3a≥2a2+b2+c2−ab+bc+ca Theo hệ quả của BĐT AM - GM thì: a2+b2+c2≥ab+bc+ca Do đó a3b+b3c+c3a≥2ab+bc+ca−ab+bc+ca=ab+bc+ca Dấu “=” xảy ra khi a = b = c > 0

Câu hỏi:

07/03/2023 242

Chứng minh $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq a b + b c + c a$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

$\frac{a^{3}}{b} + a b \geq 2 \sqrt{\frac{a^{3}}{b} . a b} = 2 a^{2}$ (1)

$\frac{b^{3}}{c} + b c \geq 2 \sqrt{\frac{b^{3}}{c} . b c} = 2 b^{2}$ (2)

$\frac{c^{3}}{a} + c a \geq 2 \sqrt{\frac{c^{3}}{a} . c a} = 2 c^{2}$ (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:

$\frac{a^{3}}{b} + a b + \frac{b^{3}}{c} + b c + \frac{c^{3}}{a} + c a \geq 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (a b + b c + c a)$

Theo hệ quả của BĐT AM - GM thì: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Do đó $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 2 (a b + b c + c a) - (a b + b c + c a) = a b + b c + c a$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c > 0

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính BC, BH, HC, AH .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB  6 cm, AC  8 cm. a) Tính BC, BH, HC, AH . (ảnh 1)

a) Vì ∆ABC vuông tại A nên ta có:

BC² = AB² + AC²

=> BC² = 6² + 8² = 100

=> BC = 10 cm.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{6^{2}} + \frac{1}{8^{2}} = \frac{25}{576} \Rightarrow A H = \frac{24}{5} = 4, 8 (c m)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AB² = BA.BC

<=> 6² = BH.10

$\Leftrightarrow B H = \frac{36}{10} = 3, 6 (c m)$

=> HC = BC − BH = 10 − 3,6 = 6,4 (cm)

Vậy BC = 10 cm, BH = 3,6 cm, HC = 6,4 cm, AH = 4,8 cm.

Câu 2

Cho phương trình: x² − mx + m − 1 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thoả mãn: x₁² + 3x₁x₂ = 3x₂ + 3m + 16.

Xem đáp án

Lời giải

• Xét phương trình: x² − mx + m − 1 = 0 (1)

Ta có: ∆ = m² − 4(m − 1) = m² − 4m + 4 = (m − 2)²

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0

Hay (m − 2)² > 0 <=> m ≠ 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} x_{2} = m - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = m - x_{2} \\ (m - x_{2}) x_{2} = m - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = m - x_{2} \\ {x_{2}}^{2} - m x_{2} + m - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = m - x_{2} \\ (x_{2} - 1) (x_{2} + 1) - m (x_{2} - 1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = m - x_{2} \\ (x_{2} - 1) (x_{2} + 1 - m) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = m - x_{2} \\ [\begin{array}{l} x_{2} = 1 \\ x_{2} = m - 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x_{1} = m - 1 \\ x_{2} = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x_{1} = 1 \\ x_{2} = m - 1 \end{cases} \end{array}$

• Xét phương trình: x₁² + 3x₁x₂ = 3x₂ + 3m + 16 (2)

+) TH1: $\{\begin{cases} x_{1} = m - 1 \\ x_{2} = 1 \end{cases}$

Khi đó phương trình (2) trở thành:

(2) <=> (m − 1)² + 3(m − 1) = 3 + 3m + 16

<=> m² − 2m − 21 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 + \sqrt{22} \\ m = 1 - \sqrt{22} \end{array}$

+) TH2: $\{\begin{cases} x_{1} = 1 \\ x_{2} = m - 1 \end{cases}$

Khi đó phương trình (2) trở thành:

(2) <=> 1² + 3(m − 1) = 3(m − 1) + 3m + 16

<=> 3m + 15 = 0

<=> m = −5.

Vậy $m = 1 \pm \sqrt{22}$ và m = −5 là các giá trị của m thỏa mãn.

Câu 3