Hệ bất phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - 2mx + 1 \le 0\end{array} \right.\] có nghiệm khi và chỉ khi \[\]

Lời giải

Ta có x – 1 > 0 ⇔ x > 1.

Để hệ bất phương trình có nghiệm ta có

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 1 \ge 0\\{x_2} = m + \sqrt {{m^2} - 1} > 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le - 1\end{array} \right.\\\sqrt {{m^2} - 1} > 1 - m\end{array} \right.\]

Ta xét các trường hợp sau:

• Với m = 1 ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - 2x + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{(x - 1)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.\] (vô lí).

• Với m > 1 ta suy ra BPT luôn đúng.

• Với m ≤ −1 hai vế ko âm, bình phương hai vế, ta được:

m² – 1 ≥ m² − 2m + 1 ⇔ m ≥ 1 (không thỏa mãn).

Vậy với m > 1 thì BPT đã cho có nghiệm.