Tìm m để các hàm số sau có tập xác định là ℝ (hay luôn xác định trên ℝ):

a) \[y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + 3m + 5}}\].

b) \[\sqrt {{x^2} + 2(m - 1)x + {m^2} + m - 6} \].

c) \[\frac{{3x + 5}}{{\sqrt {{x^2} - 2(m + 3)x + m + 9} }}\].

Lời giải

Ta có y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2

$\Rightarrow$ y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5

Để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞) thì:

y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 (∀x > 2)

$\iff$ 3x² − 6x + 5 ≥ 12m(x − 1) (∀x > 2)

\( \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \ge m\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x > 2} g\left( x \right)\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( 2 \right)\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

\( \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}\).

Lời giải

A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Þ 4A = 4x² + 4xy + 4y² − 12x − 12y

= (x² + 4y² + 9 + 4xy − 6x − 12y) + (3x² − 6x + 3) − 12

= (x + 2y − 3)² + 3(x − 1)² − 12 ≥ −12

Þ A ≥ −3.

Vậy A đạt GTNN bằng −3 khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).