Cho tam giác ABC có \(\widehat C = 90^\circ \). Kẻ CH vuông góc với AB. Trên AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = BC; CN = CH. Chứng minh rằng:

a) MN ^ AC.

b) AC + BC < AB + CH.

Lời giải

a) ∆BCM cân tại B (BM = BC)

\( \Rightarrow \widehat {BCM} = \widehat {BMC}\) (1)

∆ACB có \[\widehat C = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BCM} + \widehat {MCN} = 90^\circ \] (2)

∆CHM vuông tại H nên \(\widehat {HCM} + \widehat {HMC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HCM} + \widehat {BMC} = 90^\circ \) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {HCM} = \widehat {MCN}\).

∆CHN cân tại C (CH = CN) có \(\widehat {HCM} = \widehat {MCN}\) hay CM là đường phân giác nên CM cũng là đường trung trực của cạnh HN.

Þ MH = MN.

Þ ∆MHN cân tại M. Suy ra \(\widehat {MHC} = \widehat {MNH}\) (5)

∆CHN cân tại C (CH = CN).

\( \Rightarrow \widehat {CHN} = \widehat {CNH}\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {MNH} + \widehat {CNH} = \widehat {MHN} + \widehat {CHN} = \widehat {MHC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {MNC} = 90^\circ \) Þ MN ^ NC hay MN ^ AC (đpcm).

b) Xét ∆MNA vuông tại N nên AN < AM (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)

Þ AC − CN < AB − BM

Û AC + BM < AB + CN

Û AC + BC < AB + CH (Do BM = BC; CN = CH).