Câu hỏi:

12/07/2024 1,805

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \ge \frac{1}{2}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{a + b}}.\frac{{a + b}}{4}} = a\).

Tương tự \(\frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{b^2}}}{{b + c}}.\frac{{b + c}}{4}} = b\).

\(\frac{{{c^2}}}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{c^2}}}{{c + a}}.\frac{{c + a}}{4}} = c\).

Suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \ge a - \frac{{a + b}}{4} + b - \frac{{b + c}}{4} + c - \frac{{c + a}}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \ge \left( {a + b + c} \right) - \left( {\frac{{a + b}}{4} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{{c + a}}{4}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \ge \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{1}{2}\) (đpcm).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Ta có y = x33(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2

 y' = 3x26(2m + 1)x + 12m + 5

Để hàm số y = x33(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞) thì:

y' = 3x26(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 (x > 2)

 3x26x + 5 ≥ 12m(x − 1) (x > 2)

\( \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \ge m\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x > 2} g\left( x \right)\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( 2 \right)\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

\( \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}\).

Lời giải

Lời giải

A = x2 + xy + y23x3y

Þ 4A = 4x2 + 4xy + 4y212x12y

= (x2 + 4y2 + 9 + 4xy − 6x12y) + (3x2 − 6x + 3) − 12

= (x + 2y − 3)2 + 3(x − 1)2 − 12 ≥ −12

Þ A ≥ −3.

Vậy A đạt GTNN bằng −3 khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP