Câu hỏi:

12/07/2024 1,427

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \ge \frac{1}{2}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{a + b}}.\frac{{a + b}}{4}} = a\).

Tương tự \(\frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{b^2}}}{{b + c}}.\frac{{b + c}}{4}} = b\).

\(\frac{{{c^2}}}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{c^2}}}{{c + a}}.\frac{{c + a}}{4}} = c\).

Suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \ge a - \frac{{a + b}}{4} + b - \frac{{b + c}}{4} + c - \frac{{c + a}}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \ge \left( {a + b + c} \right) - \left( {\frac{{a + b}}{4} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{{c + a}}{4}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{a + b}} + \frac{{{b^2}}}{{b + c}} + \frac{{{c^2}}}{{c + a}} \ge \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{1}{2}\) (đpcm).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm m để hàm số y = x33(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Xem đáp án » 02/04/2025 17,533

Câu 2:

Tìm GTNN: A = x2 + xy + y23x3y

Xem đáp án » 13/07/2024 16,109

Câu 3:

Tìm các tham số a, b, c sao cho hàm số y = ax2 + bx + c đạt GTNN là 4 tại x = 2 và đồ thị hàm số của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6.

Xem đáp án » 13/07/2024 14,643

Câu 4:

Tính chu vi và diện tích một hình tam giác vuông có một cạnh góc vuông dài 24 cm và bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh góc vuông kia. Cạnh còn lại dài 40 cm.

Xem đáp án » 13/07/2024 12,333

Câu 5:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).

Xem đáp án » 13/07/2024 11,866

Câu 6:

Cho bất phương trình: (m2)x2 + 2(43m)x + 10m − 11 ≤ 0 (1). Gọi S là tập hợp các số nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi x < −4. Tìm số phần tử của S.

Xem đáp án » 13/07/2024 9,670

Câu 7:

Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = (m − 2)x + m tạo với trục Ox một góc nhọn, góc tù.

Xem đáp án » 13/07/2024 7,828
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua