Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc Û a3 + b3 + c3 − 3abc = 0 Û a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 − (3a2b + 3ab2) + c3 − 3abc = 0 Û (a + b)3 + c3 − 3ab(a + b + c) = 0 Û (a + b + c)[(a + b)2 − (a + b).c + c2] − 3ab(a + b + c) = 0 Û (a + b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc + c2] − 3ab(a + b + c) = 0 Û (a + b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc + c2 − 3ab] = 0 Û (a + b + c)[a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca] = 0 (*) Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a + b + c > 0. Phương trình (*) trở thành: a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0 Û 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca = 0 Û (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) = 0 Û (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0 Vì (a − b)2; (b − c)2; (c − a)2 ≥ 0 nên (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0 ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}a - b = 0 b - c = 0 c - a = 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = b b = c c = a end{array} right. Leftrightarrow a = b = c ). Vậy ABC là tam giác đều.

Câu hỏi:

20/03/2023 2,285

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3abc.

Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có: a³ + b³ + c³ = 3abc

Û a³ + b³ + c³ − 3abc = 0

Û a³ + 3a²b + 3ab² + b³ − (3a²b + 3ab²) + c³ − 3abc = 0

Û (a + b)³ + c³ − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[(a + b)² − (a + b).c + c²] − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[a² + b² + 2ab − ac − bc + c²] − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[a² + b² + 2ab − ac − bc + c² − 3ab] = 0

Û (a + b + c)[a² + b² + c² − ab − bc − ca] = 0 (*)

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a + b + c > 0.

Phương trình (*) trở thành:

a² + b² + c² − ab − bc − ca = 0

Û 2a² + 2b² + 2c² − 2ab − 2bc − 2ca = 0

Û (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) = 0

Û (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0

Vì (a − b)²; (b − c)²; (c − a)² ≥ 0 nên

(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c$.

Vậy ABC là tam giác đều.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm m để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2

$\Rightarrow$ y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5

Để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞) thì:

y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 (∀x > 2)

$\Leftrightarrow$ 3x² − 6x + 5 ≥ 12m(x − 1) (∀x > 2)

$ \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \ge m\;\left( {\forall x > 2} \right)$

Đặt $g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x > 2} g\left( x \right)$

Ta có: $g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\left( {\forall x > 2} \right)$

$ \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( 2 \right)\;\left( {\forall x > 2} \right)$

$ \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}$.

Câu 2

Tìm GTNN: A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Xem đáp án

Lời giải

A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Þ 4A = 4x² + 4xy + 4y² − 12x − 12y

= (x² + 4y² + 9 + 4xy − 6x − 12y) + (3x² − 6x + 3) − 12

= (x + 2y − 3)² + 3(x − 1)² − 12 ≥ −12

Þ A ≥ −3.

Vậy A đạt GTNN bằng −3 khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$.

Câu 3