Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3abc.

Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải

Ta có: a³ + b³ + c³ = 3abc

Û a³ + b³ + c³ − 3abc = 0

Û a³ + 3a²b + 3ab² + b³ − (3a²b + 3ab²) + c³ − 3abc = 0

Û (a + b)³ + c³ − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[(a + b)² − (a + b).c + c²] − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[a² + b² + 2ab − ac − bc + c²] − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[a² + b² + 2ab − ac − bc + c² − 3ab] = 0

Û (a + b + c)[a² + b² + c² − ab − bc − ca] = 0          (*)

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a + b + c > 0.

Phương trình (*) trở thành:

a² + b² + c² − ab − bc − ca = 0

Û 2a² + 2b² + 2c² − 2ab − 2bc − 2ca = 0

Û (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) = 0

Û (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0

Vì (a − b)²; (b − c)²; (c − a)² ≥ 0 nên

(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\).

Vậy ABC là tam giác đều.