Câu hỏi:
20/03/2023 938
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc.
Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc.
Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc
Û a3 + b3 + c3 − 3abc = 0
Û a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 − (3a2b + 3ab2) + c3 − 3abc = 0
Û (a + b)3 + c3 − 3ab(a + b + c) = 0
Û (a + b + c)[(a + b)2 − (a + b).c + c2] − 3ab(a + b + c) = 0
Û (a + b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc + c2] − 3ab(a + b + c) = 0
Û (a + b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc + c2 − 3ab] = 0
Û (a + b + c)[a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca] = 0 (*)
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a + b + c > 0.
Phương trình (*) trở thành:
a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0
Û 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca = 0
Û (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) = 0
Û (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0
Vì (a − b)2; (b − c)2; (c − a)2 ≥ 0 nên
(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\).
Vậy ABC là tam giác đều.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm m để hàm số y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Xem đáp án »
13/07/2024
14,671
Câu 3:
Tìm các tham số a, b, c sao cho hàm số y = ax2 + bx + c đạt GTNN là 4 tại x = 2 và đồ thị hàm số của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6.
Xem đáp án »
13/07/2024
10,326
Câu 4:
Tính chu vi và diện tích một hình tam giác vuông có một cạnh góc vuông dài 24 cm và bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh góc vuông kia. Cạnh còn lại dài 40 cm.
Xem đáp án »
13/07/2024
8,520
Câu 5:
Cho bất phương trình: (m − 2)x2 + 2(4 − 3m)x + 10m − 11 ≤ 0 (1). Gọi S là tập hợp các số nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi x < −4. Tìm số phần tử của S.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,258
Câu 6:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).
Xem đáp án »
13/07/2024
6,603
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kỳ trên cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì?
Xem đáp án »
13/07/2024
5,014
về câu hỏi!