Câu hỏi:

20/03/2023 2,205

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc.

Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc

Û a3 + b3 + c33abc = 0

Û a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 − (3a2b + 3ab2) + c33abc = 0

Û (a + b)3 + c3 − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[(a + b)2 − (a + b).c + c2] − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc + c2] − 3ab(a + b + c) = 0

Û (a + b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc + c2 − 3ab] = 0

Û (a + b + c)[a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca] = 0          (*)

a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a + b + c > 0.

Phương trình (*) trở thành:

a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0

Û 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca = 0

Û (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) = 0

Û (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0

Vì (a − b)2; (b − c)2; (c − a)2 ≥ 0 nên

(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\).

Vậy ABC là tam giác đều.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Ta có y = x33(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2

 y' = 3x26(2m + 1)x + 12m + 5

Để hàm số y = x33(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞) thì:

y' = 3x26(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 (x > 2)

 3x26x + 5 ≥ 12m(x − 1) (x > 2)

\( \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \ge m\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x > 2} g\left( x \right)\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( 2 \right)\;\left( {\forall x > 2} \right)\)

\( \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}\).

Lời giải

Lời giải

A = x2 + xy + y23x3y

Þ 4A = 4x2 + 4xy + 4y212x12y

= (x2 + 4y2 + 9 + 4xy − 6x12y) + (3x2 − 6x + 3) − 12

= (x + 2y − 3)2 + 3(x − 1)2 − 12 ≥ −12

Þ A ≥ −3.

Vậy A đạt GTNN bằng −3 khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP