Câu hỏi:
13/07/2024 1,147
Cho tam giác ABC thỏa \(\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + \frac{{2r}}{R} = 4\). Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có:
\(S = \frac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
\( \Rightarrow {S^2} = \frac{{abcpr}}{{4R}} = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{2r}}{R} = \frac{{\left( {a + b + c - 2a} \right)\left( {a + b + c - 2b} \right)\left( {a + b + c - 2c} \right)}}{{abc}}\).
Lại có theo giả thiết: \(\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + \frac{{2r}}{R} = 4\) nên suy ra
\(\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + \frac{{\left( {a + b + c - 2a} \right)\left( {a + b + c - 2b} \right)\left( {a + b + c - 2c} \right)}}{{abc}} = 4\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {a + c - b} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{abc}} = 4\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + \left( {b + c - a} \right)\left( {a + c - b} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{abc}} = 4\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} - {a^3} - {b^3} - {c^3} + {a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {a^2}c + a{c^2} - 2abc}}{{abc}} = 4\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {a^2}c + a{c^2} - 2abc}}{{abc}} = 4\)
\( \Leftrightarrow {a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {a^2}c + a{c^2} - 2abc = 4abc\)
\( \Leftrightarrow {a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {a^2}c + a{c^2} = 6abc\) (1)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\({a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {a^2}c + a{c^2} \ge 6abc\).
Do đó (1) đúng khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy tam giác ABC đều.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm m để hàm số y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Xem đáp án »
13/07/2024
14,671
Câu 3:
Tìm các tham số a, b, c sao cho hàm số y = ax2 + bx + c đạt GTNN là 4 tại x = 2 và đồ thị hàm số của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6.
Xem đáp án »
13/07/2024
10,326
Câu 4:
Tính chu vi và diện tích một hình tam giác vuông có một cạnh góc vuông dài 24 cm và bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh góc vuông kia. Cạnh còn lại dài 40 cm.
Xem đáp án »
13/07/2024
8,520
Câu 5:
Cho bất phương trình: (m − 2)x2 + 2(4 − 3m)x + 10m − 11 ≤ 0 (1). Gọi S là tập hợp các số nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi x < −4. Tìm số phần tử của S.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,258
Câu 6:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).
Xem đáp án »
13/07/2024
6,603
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kỳ trên cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì?
Xem đáp án »
13/07/2024
5,014
về câu hỏi!