Tìm GTNN:

a) A = x² − xy + y² − 3x − 3y;

b) B = 2x² + 2xy + 5y² − 8x − 22y.

Lời giải

a) Ta có A = x² − xy + y² − 3x − 3y

Þ 4A = 4x² − 4xy + 4y² − 12x − 12y

= (x² + 4y² + 9 − 4xy + 6x − 12y) + (3x² − 18x + 27) − 36

= (x − 2y + 3)² + 3(x − 3)² − 36 ≥ −36

Þ A ≥ −9.

Vậy A đạt GTNN bằng −9 khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 3$.

b) Ta có B = 2x² + 2xy + 5y² − 8x − 22y

Þ 2B = 4x² + 4xy + 10y² − 16x − 44y

= (4x² + y² + 16 + 4xy − 16x − 8y) + (9y² − 36y + 36) − 52

= (2x + y − 4)² + 9(y − 2)² − 52 ≥ −52

Þ B ≥ −26.

Vậy B đạt GTNN bằng −26 khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.$.