Tìm GTNN: a) A = x2 − xy + y2 − 3x − 3y; b) B = 2x2 + 2xy + 5y2 − 8x − 22y.

Lời giải a) Ta có A = x2 − xy + y2 − 3x − 3y Þ 4A = 4x2 − 4xy + 4y2 − 12x − 12y = (x2 + 4y2 + 9 − 4xy + 6x − 12y) + (3x2 − 18x + 27) − 36 = (x − 2y + 3)2 + 3(x − 3)2 − 36 ≥ −36 Þ A ≥ −9. Vậy A đạt GTNN bằng −9 khi và chỉ khi ( left { begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0 x - 3 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x = 3 y = 3 end{array} right. Leftrightarrow x = y = 3 ). b) Ta có B = 2x2 + 2xy + 5y2 − 8x − 22y Þ 2B = 4x2 + 4xy + 10y2 − 16x − 44y = (4x2 + y2 + 16 + 4xy − 16x − 8y) + (9y2 − 36y + 36) − 52 = (2x + y − 4)2 + 9(y − 2)2 − 52 ≥ −52 Þ B ≥ −26. Vậy B đạt GTNN bằng −26 khi và chỉ khi ( left { begin{array}{l}2x + y - 4 = 0 y - 2 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x = 1 y = 2 end{array} right. ).

Câu hỏi:

13/07/2024 2,691

Tìm GTNN:

a) A = x² − xy + y² − 3x − 3y;

b) B = 2x² + 2xy + 5y² − 8x − 22y.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

a) Ta có A = x² − xy + y² − 3x − 3y

Þ 4A = 4x² − 4xy + 4y² − 12x − 12y

= (x² + 4y² + 9 − 4xy + 6x − 12y) + (3x² − 18x + 27) − 36

= (x − 2y + 3)² + 3(x − 3)² − 36 ≥ −36

Þ A ≥ −9.

Vậy A đạt GTNN bằng −9 khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 3$.

b) Ta có B = 2x² + 2xy + 5y² − 8x − 22y

Þ 2B = 4x² + 4xy + 10y² − 16x − 44y

= (4x² + y² + 16 + 4xy − 16x − 8y) + (9y² − 36y + 36) − 52

= (2x + y − 4)² + 9(y − 2)² − 52 ≥ −52

Þ B ≥ −26.

Vậy B đạt GTNN bằng −26 khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm m để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2

$\Rightarrow$ y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5

Để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞) thì:

y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 (∀x > 2)

$\Leftrightarrow$ 3x² − 6x + 5 ≥ 12m(x − 1) (∀x > 2)

$ \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \ge m\;\left( {\forall x > 2} \right)$

Đặt $g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x > 2} g\left( x \right)$

Ta có: $g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\left( {\forall x > 2} \right)$

$ \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( 2 \right)\;\left( {\forall x > 2} \right)$

$ \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}$.

Câu 2

Tìm GTNN: A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Xem đáp án

Lời giải

A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Þ 4A = 4x² + 4xy + 4y² − 12x − 12y

= (x² + 4y² + 9 + 4xy − 6x − 12y) + (3x² − 6x + 3) − 12

= (x + 2y − 3)² + 3(x − 1)² − 12 ≥ −12

Þ A ≥ −3.

Vậy A đạt GTNN bằng −3 khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$.

Câu 3