Câu hỏi:

13/07/2024 4,370

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;

b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh $\widehat {MPK} = \widehat {MBC}$;

c) Chứng minh MI.MK = MP²;

d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MI \bot AB\;\;\;\,\left( {gt} \right)\\MK \bot AC\;\;\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {AIM} = 90^\circ \\\widehat {AKM} = 90^\circ \end{array} \right.$.

Tứ giác AIMK có: $\widehat {AIM} + \widehat {AKM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $.

Þ AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM (đpcm).

b) Ta có: MP ^ BC (gt) $ \Rightarrow \widehat {MPC} = 90^\circ $.

MK ^ AC (gt) $ \Rightarrow \widehat {MKC} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \widehat {MPC} + \widehat {MKC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $

Þ CPMK nội tiếp đường tròn.

$ \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MCK}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

Mặt khác $\widehat {MCK} = \widehat {MBC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC)

$ \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MBC}\;\left( { = \widehat {MCK}} \right)$ (đpcm)

c) Ta có: $\widehat {MIB} + \widehat {MPB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $

Þ BPMI là tứ giác nội tiếp

$ \Rightarrow \widehat {MIP} = \widehat {MBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MP)

Mà $\widehat {MPK} = \widehat {MBC}$ (cmt)

$ \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MIP}\;\left( { = \widehat {MBC}} \right)$.

Tương tự ta cũng chứng minh được $\widehat {MPI} = \widehat {MKP}\;\left( { = \widehat {MCB} = \widehat {MBI}} \right)$.

Xét ∆MIP và ∆MPK có:

$\widehat {MPI} = \widehat {MKP}$ (cmt)

$\widehat {MIP} = \widehat {MPK}$ (cmt)

Þ ∆MIP ᔕ ∆MPK (g.g)

$ \Rightarrow \frac{{MI}}{{MP}} = \frac{{MP}}{{MK}} \Rightarrow MI.MK = M{P^2}$ (đpcm)

d) Ta có: $MI\,\,.\,\,MK = M{P^2}$

$ \Rightarrow MI\,\,.\,\,MK\,\,.\,\,MP = M{P^3}$.

Để tích MI . MK . MP đạt GTLN Û MP đạt GTLN.

Gọi H là hình chiếu của O lên BC Þ OH là hằng số (do BC cố định).

Gọi MO Ç BC = {D}.

Ta có: MP £ MD; OH £ OD

Þ MP + OH £ MD + OD = MO

Þ MP + OH £ R

Þ MP £ R − OH

Þ MP lớn nhất bằng R − OH

Û O, H, M thẳng hàng hay M bằm chính giữa cung nhỏ BC.

Vậy khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC thì tích MI . MK . MP đạt GTLN.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm m để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2

$\Rightarrow$ y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5

Để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞) thì:

y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 (∀x > 2)

$\Leftrightarrow$ 3x² − 6x + 5 ≥ 12m(x − 1) (∀x > 2)

$ \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \ge m\;\left( {\forall x > 2} \right)$

Đặt $g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x > 2} g\left( x \right)$

Ta có: $g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\left( {\forall x > 2} \right)$

$ \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( 2 \right)\;\left( {\forall x > 2} \right)$

$ \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}$.

Câu 2

Tìm GTNN: A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Xem đáp án

Lời giải

A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Þ 4A = 4x² + 4xy + 4y² − 12x − 12y

= (x² + 4y² + 9 + 4xy − 6x − 12y) + (3x² − 6x + 3) − 12

= (x + 2y − 3)² + 3(x − 1)² − 12 ≥ −12

Þ A ≥ −3.

Vậy A đạt GTNN bằng −3 khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$.

Câu 3