Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;

b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh \(\widehat {MPK} = \widehat {MBC}\);

c) Chứng minh MI.MK = MP²;

d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MI \bot AB\;\;\;\,\left( {gt} \right)\\MK \bot AC\;\;\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {AIM} = 90^\circ \\\widehat {AKM} = 90^\circ \end{array} \right.\).

Tứ giác AIMK có: \(\widehat {AIM} + \widehat {AKM} = 90^\circ  + 90^\circ = 180^\circ \).

Þ AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM (đpcm).

b) Ta có: MP ^ BC (gt) \( \Rightarrow \widehat {MPC} = 90^\circ \).

MK ^ AC (gt) \( \Rightarrow \widehat {MKC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {MPC} + \widehat {MKC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Þ CPMK nội tiếp đường tròn.

\( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MCK}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

Mặt khác \(\widehat {MCK} = \widehat {MBC}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC)

\( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MBC}\;\left( { = \widehat {MCK}} \right)\) (đpcm)

c) Ta có: \(\widehat {MIB} + \widehat {MPB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Þ BPMI là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {MIP} = \widehat {MBC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MP)

Mà \(\widehat {MPK} = \widehat {MBC}\) (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MIP}\;\left( { = \widehat {MBC}} \right)\).

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\widehat {MPI} = \widehat {MKP}\;\left( { = \widehat {MCB} = \widehat {MBI}} \right)\).

Xét ∆MIP và ∆MPK có:

\(\widehat {MPI} = \widehat {MKP}\) (cmt)

\(\widehat {MIP} = \widehat {MPK}\) (cmt)

Þ ∆MIP ᔕ ∆MPK (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{MI}}{{MP}} = \frac{{MP}}{{MK}} \Rightarrow MI.MK = M{P^2}\) (đpcm)

d) Ta có: \(MI\,\,.\,\,MK = M{P^2}\)

\( \Rightarrow MI\,\,.\,\,MK\,\,.\,\,MP = M{P^3}\).

Để tích MI . MK . MP đạt GTLN Û MP đạt GTLN.

Gọi H là hình chiếu của O lên BC Þ OH là hằng số (do BC cố định).

Gọi MO Ç BC = {D}.

Ta có: MP £ MD; OH £ OD

Þ MP + OH £ MD + OD = MO

Þ MP + OH £ R

Þ MP £ R − OH

Þ MP lớn nhất bằng R − OH

Û O, H, M thẳng hàng hay M bằm chính giữa cung nhỏ BC.

Vậy khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC thì tích MI . MK . MP đạt GTLN.