Câu hỏi:

13/07/2024 5,680

Cho biểu thức $M = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}$.

1. Rút gọn M.

2. Tìm x để M ≥ 1.

3. Tìm GTLN của biểu thức M.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

1) $M = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}$

$ = \frac{{{x^4} + 2}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}$

$ = \frac{{{x^4} + 2 + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} - \frac{1}{{{x^2} + 1}}$

$ = \frac{{{x^4} + 2 + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}$

$ = \frac{{{x^4} + 2 + {x^4} - 1 - {x^4} + {x^2} - 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{x^4} + {x^2}}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}$

$ = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}$.

2) M ≥ 1

$ \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} \ge 1$

$ \Rightarrow {x^2} \ge {x^4} - {x^2} + 1$

$ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 \le 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} \le 0$

Þ x² − 1 = 0

Þ x = ±1.

3) $M = \frac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}$

\[ \Leftrightarrow M\,.\,{x^4} - M\,.\,{x^2} + M = {x^2}\]

$ \Leftrightarrow M\,.\,{x^4} - \left( {M + 1} \right)\,.\,{x^2} + M = 0$ (*)

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

$\Delta = {\left( {M + 1} \right)^2} - 4{M^2} \ge 0$

$ \Leftrightarrow {M^2} + 2M + 1 - 4{M^2} \ge 0$

$ \Leftrightarrow 3{M^2} - 2M - 1 \le 0$

$ \Leftrightarrow \left( {3M + 1} \right)\left( {M - 1} \right) \le 0$

$ \Rightarrow - \frac{1}{3} \le M \le 1$.

Vậy GTLN của M bằng 1 khi và chỉ khi $ - \frac{1}{3} \le M \le 1$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm m để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2

$\Rightarrow$ y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5

Để hàm số y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞) thì:

y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 (∀x > 2)

$\Leftrightarrow$ 3x² − 6x + 5 ≥ 12m(x − 1) (∀x > 2)

$ \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \ge m\;\left( {\forall x > 2} \right)$

Đặt $g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}} \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x > 2} g\left( x \right)$

Ta có: $g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\left( {\forall x > 2} \right)$

$ \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( 2 \right)\;\left( {\forall x > 2} \right)$

$ \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}$.

Câu 2

Tìm GTNN: A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Xem đáp án

Lời giải

A = x² + xy + y² − 3x − 3y

Þ 4A = 4x² + 4xy + 4y² − 12x − 12y

= (x² + 4y² + 9 + 4xy − 6x − 12y) + (3x² − 6x + 3) − 12

= (x + 2y − 3)² + 3(x − 1)² − 12 ≥ −12

Þ A ≥ −3.

Vậy A đạt GTNN bằng −3 khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$.

Câu 3