Câu hỏi:
21/03/2023 1,219
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BD} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).
c) Chứng minh AM ⊥ BD.
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BD} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).
c) Chứng minh AM ⊥ BD.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 2.3.\cos 60^\circ = 3\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3\).
b) Vì M là trung điểm BC nên ta có \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Ta có \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).
Vậy \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).
c) Ta có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \frac{7}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}.{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{7}{{24}}.{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\( = - \frac{5}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}.A{B^2} + \frac{7}{{24}}.A{C^2}\)
\( = - \frac{5}{{24}}.3 - \frac{1}{2}{.2^2} + \frac{7}{{24}}{.3^2} = 0\).
Do đó \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BD} \).
Vậy AM ⊥ BD.Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD, H là trọng tâm của tam giác ABD.
Tam giác ABD có: AB = AD (do ABCD là hình thoi) và \[\widehat {BAD} = 60^\circ \] (giả thiết).
Suy ra tam giác ABD đều.
Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Mà hình chóp S.ABD có SA = SB = SD = a (giả thiết).
Suy ra SH ⊥ (ABD).
Ta có \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Khi đó \(\widehat {ODC} = \widehat {ADO} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \) (do ABCD là hình thoi nên DO là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\)).
Vì vậy \(\widehat {HDO} = \frac{{\widehat {ADO}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \) (do ∆ABD đều có H là trọng tâm nên DH là đường phân giác của ∆ABD).
Ta có \(\widehat {HDC} = \widehat {HDO} + \widehat {ODC} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \).
Suy ra HD ⊥ CD.
Trong (SAC): dựng HK // SA (K ∈ SC).
Trong (SHD): dựng HI ⊥ SD (I ∈ SD).
Mà HD ⊥ CD (chứng minh trên).
Suy ra CD ⊥ (SHD).
Do đó CD ⊥ HI.
Vì vậy HI ⊥ (SCD).
Ta có I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H, K lên (SCD).
Do đó KI là hình chiếu vuông góc của HK lên (SCD).
Vì vậy (SA; (SCD)) = (HK; (SCD)) = (HK; KI) = \(\widehat {HKI}\).
Ta có HK // SA. Áp dụng định lí Thalet, ta được \(\frac{{HK}}{{SA}} = \frac{{HC}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(HK = \frac{{2a}}{3}\).
Ta có:
⦁ \(HD = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);
⦁ \(AH = \frac{2}{3}OA = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);
⦁ \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Tam giác SHD vuông tại H có HI là đường cao:
\[\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}}\].
Suy ra \(H{I^2} = \frac{{2{a^2}}}{9}\).
Do đó \(HI = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
Tam giác HIK vuông tại I: \(\sin \widehat {HKI} = \frac{{HI}}{{HK}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{{2a}}{3}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra \(\widehat {HKI} = 45^\circ \).
Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng 45°.
Do đó ta chọn phương án D.
Lời giải
Lời giải
a) Gọi N là trung điểm AC.
Do H là điểm đối xứng của B qua G.
Suy ra G là trung điểm của BH.
Do đó \(GH = BG = \frac{2}{3}BN = 2GN\) (do G là trọng tâm tam giác ABC).
Vì vậy N là trung điểm GH (do 4 điểm B, G, N, H thẳng hàng).
Suy ra GN = NH.
Ta có \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GN} \)
\( = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)
\[ = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \]
\[ = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \].
Ta có \(\overrightarrow {CH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {GN} \)
\( = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)
\[ = \overrightarrow {CN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]
\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) \(\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AH} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.