Câu hỏi:
13/07/2024 1,738
Cho hình bình hành ABCD có AB > BC. Đướng phân giác của góc D cắt AB tại M, đường phân giác của góc B cắt CD tại N
a) Chứng minh AM = CN
b) Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành.
c) Gọi H,K lần lượt là hình chiếu M và N trên BN và DM. Tứ giác MHNK là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh ba đường thẳng AC, MN, KH đồng quy.
Cho hình bình hành ABCD có AB > BC. Đướng phân giác của góc D cắt AB tại M, đường phân giác của góc B cắt CD tại N
a) Chứng minh AM = CN
b) Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành.
c) Gọi H,K lần lượt là hình chiếu M và N trên BN và DM. Tứ giác MHNK là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh ba đường thẳng AC, MN, KH đồng quy.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD
Suy ra \(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {M{\rm{D}}C}\) (Hai góc so le trong) và AB = CD, AD = BC (1)
Vì DM là tia phân giác của góc ADC ⇒ \(\widehat {ADM} = \widehat {MDC} = \frac{1}{2}\widehat {CDA}\)
Suy ra \(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {M{\rm{DA}}}\)
Do đó tam giác ADM cân tại A
Suy ra AM = AD (tính chất) (2)
Vì BN là tia phân giác của góc ABC ⇒ \(\widehat {ABN} = \widehat {NBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)
Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD nên \(\widehat {ABN} = \widehat {BNC}\) (Hai góc so le trong)
Suy ra \(\widehat {CBN} = \widehat {BNC}\)
Do đó tam giác BCN cân tại C
Suy ra CN = CB (tính chất) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AM = CN
Vậy AM = CN
b) Ta có:
AB = AM + MB
CD = CN + ND
Mà AB = CD, AM = CN (chứng minh câu a)
Suy ra MB = ND
Tứ giác DMBN có:
MB = ND (chứng minh trên)
MB // ND (vì AB // CD)
Suy ra DMBN là hình bình hành
Vậy DMBN là hình bình hành.
c) Vì DMBN là hình bình hành nên DM // BN, DM = BN
Ta có DM // BN, NK ⊥ DM
Nên NK ⊥ BN (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Suy ra \(\widehat {KNH} = 90^\circ \)
Vì DM // BN, MH ⊥ BN
Nên DM ⊥ MH (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Suy ra \(\widehat {HMK} = 90^\circ \)
Vì H,K lần lượt là hình chiếu M và N trên BN và DM
Nên \(\widehat {MKN} = 90^\circ ,\widehat {MHN} = 90^\circ \)
Xét tứ giác MHNK có
\(\widehat {MKN} = 90^\circ ,\widehat {MHN} = 90^\circ \), \(\widehat {KNH} = 90^\circ \), \(\widehat {HMK} = 90^\circ \) (chứng minh trên)
Suy ra MHNK là hình chữ nhật
Vậy MHNK là hình chữ nhật.
d)Vì ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Gọi O là trung điểm của AC (*)
Suy ra O là trung điểm của BD
Vì DMBN là hình bình hành nên MN và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà O là trung điểm của BD
Suy ra O là trung điểm của MN (**)
Vì MHNK là hình chữ nhật nên MN và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà O là trung điểm của MN
Suy ra O là trung điểm của HK (***)
Từ (*), (**) và (***) suy ra ba đường thẳng AC, MN, KH đồng quy tại điểm O
Vậy ba đường thẳng AC, MN, KH đồng quy.Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH . BC;
b) AH2 = BH . HC;
c) AB . AC = AH . BC;
d) AC2 = CH . BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH . BC;
b) AH2 = BH . HC;
c) AB . AC = AH . BC;
d) AC2 = CH . BC.
Xem đáp án »
13/07/2024
20,220
Câu 2:
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).
Xem đáp án »
13/07/2024
15,028
Câu 3:
Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.
Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.
Xem đáp án »
13/07/2024
12,045
Câu 4:
Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian?
Xem đáp án »
13/07/2024
11,706
Câu 5:
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:
a) Ít nhất 2 bóng tốt.
b) Ít nhất 1 bóng tốt.
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:
a) Ít nhất 2 bóng tốt.
b) Ít nhất 1 bóng tốt.
Xem đáp án »
13/07/2024
11,342
Câu 6:
Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.
Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).
Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.
Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
9,047
về câu hỏi!