Câu hỏi:

25/03/2023 166

Cho hình thang vuông ABCD có \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \), \[AB = AD = \frac{1}{2}CD\]. Gọi E là trung điểm của CD. M là giao điểm của AC và BE, K là giao điểm của AE và DM. Kẻ DH vuông góc với AC, cắt AE ở I.

a) Tứ giác ABCE là hình gì?

b) Tứ giác ABED là hình gì?

c) Tứ giác BIDK là hình gì?

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập hơn 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.

Nâng cấp VIP Thi Thử Ngay

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Vì E là trung điểm của CD (giả thiết)

Nên \[CE = ED = \frac{1}{2}\;CD\]

Mà \[AB = AD = \frac{1}{2}CD\] (giả thiết)

Suy ra AB = AD = CE = ED

Vì ABCD là hình thang vuông (giả thiết)

Nên AB // CD

Xét tứ giác ABCE có AB // CE, AB = CE (chứng minh trên)

Suy ra ABCE là hình bình hành

b) Xét tứ giác ABED có AB // DE, AB = DE (chứng minh câu a)

Suy ra ABED là hình bình hành

Mà \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \), AB = AD (giả thiết)

Do đó ABED là hình vuông

c) Gọi O là giao điểm của AE và BD

Vì ABED là hình vuông

Suy ra OE = OA = OD = OB, BD AE , \(\widehat {ABM} = \widehat {DEM} = 90^\circ \)

Xét hình bình hành ABCE có AC cắt BE tại M

Suy ra M là trung điểm của AC và BE

Hay BM = ME

Xét tam giác ABM và tam giác DEM có

\(\widehat {ABM} = \widehat {DEM} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh câu a)

BM = ME (chứng minh trên)

Do đó DABM = DDEM (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {EDM}\) (hai góc tương ứng)

Xét DAHD vuông tại H có \(\widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {H{\rm{D}}A} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {HAB} = \widehat {DAB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {HAB} = \widehat {H{\rm{D}}A}\)

Lại có \(\widehat {BAH} = \widehat {EDM}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {HDA} = \widehat {EDM}\)

Xét tam giác ADE có \(\widehat {ADE} = 90^\circ \), AD = DE

Nên tam giác ADE vuông cân tại D

Suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {DE{\rm{A}}} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Xét tam giác AID và tam giác EKD có

\(\widehat {DAE} = \widehat {DE{\rm{A}}}\) (chứng minh trên)

AD = DE (chứng minh câu a)

\(\widehat {IDA} = \widehat {EDK}\) (chứng minh trên)

Do đó AID = EKD (g.c.g)

Suy ra DI = KD, AI = EK (các cặp cạnh tương ứng)

Ta có OA = OI + IA, OE = OK + KE

Mà OA = OE, AI = EK (chứng minh trên)

Suy ra OI = OK

Xét tứ giác BIDK có BD cắt IK tại O

Mà OI = OK, OB = OD (chứng minh trên)

Suy ra BIDK là hình bình hành

Lại có DI = DK (chứng minh trên)

Do đó BIDK là hình thoi.

Quảng cáo

book vietjack

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.

b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.

Xem đáp án » 25/03/2023 7,582

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) AB2 = BH . BC;

b) AH2 = BH . HC;

c) AB . AC = AH . BC;

d) AC2 = CH . BC.

Xem đáp án » 25/03/2023 4,073

Câu 3:

Chứng minh hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Xem đáp án » 25/03/2023 3,290

Câu 4:

Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian?

Xem đáp án » 25/03/2023 3,023

Câu 5:

Chứng minh sin 3x = 3sin x – 4sin3x, cos 3x = 4cos3x – 3cos x

Xem đáp án » 25/03/2023 3,003

Câu 6:

Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:

a) Ít nhất 2 bóng tốt.  

b) Ít nhất 1 bóng tốt.

Xem đáp án » 25/03/2023 2,957

Câu 7:

Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.

Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).

Xem đáp án » 25/03/2023 2,467

Bình luận


Bình luận