Cho hình thang vuông ABCD có \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \), \[AB = AD = \frac{1}{2}CD\]. Gọi E là trung điểm của CD. M là giao điểm của AC và BE, K là giao điểm của AE và DM. Kẻ DH vuông góc với AC, cắt AE ở I.

a) Tứ giác ABCE là hình gì?

b) Tứ giác ABED là hình gì?

c) Tứ giác BIDK là hình gì?

Lời giải

a) Vì E là trung điểm của CD (giả thiết)

Nên \[CE = ED = \frac{1}{2}\;CD\]

Mà \[AB = AD = \frac{1}{2}CD\] (giả thiết)

Suy ra AB = AD = CE = ED

Vì ABCD là hình thang vuông (giả thiết)

Nên AB // CD

Xét tứ giác ABCE có AB // CE, AB = CE (chứng minh trên)

Suy ra ABCE là hình bình hành

b) Xét tứ giác ABED có AB // DE, AB = DE (chứng minh câu a)

Suy ra ABED là hình bình hành

Mà \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \), AB = AD (giả thiết)

Do đó ABED là hình vuông

c) Gọi O là giao điểm của AE và BD

Vì ABED là hình vuông

Suy ra OE = OA = OD = OB, BD ⊥ AE , \(\widehat {ABM} = \widehat {DEM} = 90^\circ \)

Xét hình bình hành ABCE có AC cắt BE tại M

Suy ra M là trung điểm của AC và BE

Hay BM = ME

Xét tam giác ABM và tam giác DEM có

\(\widehat {ABM} = \widehat {DEM} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh câu a)

BM = ME (chứng minh trên)

Do đó DABM = DDEM (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {EDM}\) (hai góc tương ứng)

Xét DAHD vuông tại H có \(\widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {H{\rm{D}}A} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {HAB} = \widehat {DAB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {HAB} = \widehat {H{\rm{D}}A}\)

Lại có \(\widehat {BAH} = \widehat {EDM}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {HDA} = \widehat {EDM}\)

Xét tam giác ADE có \(\widehat {ADE} = 90^\circ \), AD = DE

Nên tam giác ADE vuông cân tại D

Suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {DE{\rm{A}}} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Xét tam giác AID và tam giác EKD có

\(\widehat {DAE} = \widehat {DE{\rm{A}}}\) (chứng minh trên)

AD = DE (chứng minh câu a)

\(\widehat {IDA} = \widehat {EDK}\) (chứng minh trên)

Do đó △AID = △EKD (g.c.g)

Suy ra DI = KD, AI = EK (các cặp cạnh tương ứng)

Ta có OA = OI + IA, OE = OK + KE

Mà OA = OE, AI = EK (chứng minh trên)

Suy ra OI = OK

Xét tứ giác BIDK có BD cắt IK tại O

Mà OI = OK, OB = OD (chứng minh trên)

Suy ra BIDK là hình bình hành

Lại có DI = DK (chứng minh trên)