Câu hỏi:

13/07/2024 2,470

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

Gọi E là giao điểm của JK và CD, H là giao điểm của EI và AD

Suy ra thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK) là tứ giác IJKH

Xét tam giác ABC có I,J lần lượt là trung điểm của AC, BC

Nên IJ là đường trung bình

Suy ra IJ // AB

Ta có AB ⊂ (ABD), IJ ⊂ (IJK), AB // IJ (chứng minh trên)

Suy ra (ABD) ∩ (IJK) = HK // AB // IJ

Do đó IJKH là hình thang (1)

Vì ABCD là tứ diện đều (giả thiết) nên AC = BC, \(\widehat {CBD} = \widehat {CA{\rm{D}}}\), AD = BD

Ta có AC = BC, AC = 2AI, BC = 2BJ

Suy ra AI = BJ

Xét tam giác ABD có HK // AB và BK = 2KD

Suy ra AH = 2 HD

Mà AD = BD nên AH = BK

Xét tam giác AHI và tam giác BKJ có

AH = BK (chứng minh trên)

\(\widehat {KBJ} = \widehat {HAI}\) (chứng minh trên)

AI = BJ (chứng minh trên)

Do đó △AHI = △BKJ (c.g.c)

Suy ra HI = KJ (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có IJKH là hình thang cân

Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK) là hình thang cân.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) AB² = BH . BC;

b) AH² = BH . HC;

c) AB . AC = AH . BC;

d) AC² = CH . BC.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Xét ∆ABH và ∆CBA có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABC}\) chung.

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AB² = BH . BC.

b) Vì tam giác AHC vuông tại H nên \(\widehat {HCA} + \widehat {HAC} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)

Xét ∆AHB và ∆CHA có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)(chứng minh trên)

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AH² = BH . CH.

c) Ta có \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\]

Suy ra AB . AC = AH . BC.

d) Xét ∆CAH và ∆CBA có:

\(\widehat {CHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

\(\widehat {ACB}\) chung.

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AC² = CH . BC.

Câu 2

Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).

b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \)

= \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {CB} + (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} )\)

= \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \)

= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CE} \)

= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

= \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \)

Vậy \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).

Câu 3