Câu hỏi:

13/07/2024 2,838

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By của đường tròn(O) lấy một điểm C sao cho AC < BC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại E, F.

a) Chứng minh EF= AE + BF.

b) BC cắt Ax tại D. Chứng minh AD² = DC. DB.

c) Gọi I là giao điểm của OD và AC, OE cắt AC tại H, tia DH cắt AB tại K. Chứng minh IK//AD.

d) IK cắt EO tại M. Chứng minh: A, M, F thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Xét (O;R) có EA , EC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E

Suy ra AE = EC

Mà AO = OC nên EO là trung trực của AC

Hay EO ⊥ AC

Xét (O;R) có FC , FB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại F

Suy ra FB = FC

Mà OF = OB nên FO là trung trực của BC

Hay OF ⊥ BC

Ta có EF = EC + CF = AE+ BF

Vậy EF= AE+ BF

b) Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB

nên tam giác ABC vuông tại C

Suy ra AC ⊥ BD

Xét tam giác ABD vuông tại A có AC ⊥ BD

Suy ra AD² = DC. DB (hệ thức lượng trong tam giác)

Vậy AD² = DC. DB

c) Ta có EA = EC, OA = OC

Nên OE là trung trực của AC

Suy ra OE ⊥ AC

Mà AC ⊥ BD

Do đó OE // BD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Trên tia đối của tia EO lấy P sao cho EP = EH

Xét tứ giác AHDP có E là giao điêm của hai đường chéo AD và HP, E là trung điểm của HP

Suy ra AHDP là hình bình hành

Suy ra HI // PD

Do đó \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)

Vì HK // AP nên \(\frac{{{\rm{OK}}}}{{{\rm{AK}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)

Mà \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)

Suy ra \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OK}}}}{{{\rm{AK}}}}\)

Do đó IK // AD.

d) Ta có IK // AD, AD ⊥ BA nên IK ⊥ AB

Xét tam giác IAO có HO ⊥ AC, IK ⊥ AO và OH cắt IK tại M

Suy ra M là trực tâm tam giác OIA

Do đó AM ⊥ IO (1)

Gọi Q là giao điểm của FO và AD

Xét tam giác OBF và tam giác OAQ có

\(\widehat {OBF} = \widehat {OAQ}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OA = OB

\(\widehat {BOF} = \widehat {QOA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó DOBF = DOAQ (g.c.g)

Suy ra FO = QO (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AFBQ có

AB cắt QF tại điểm O

O là trung điểm của AB, QF

Suy ra AFBQ là hình bình hành

Do đó AF // BQ

Xét tam giác BQD có AB ⊥ DQ, QF ⊥ DB

AB cắt QF tại O

Suy ra O là trực tâm tam giác BQD

Nên DO ⊥ QB

Mà BQ // AF (chứng minh trên)

Suy ra DO ⊥ AF (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, M, F thẳng hàng

Vậy A, M, F thẳng hàng.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) AB² = BH . BC;

b) AH² = BH . HC;

c) AB . AC = AH . BC;

d) AC² = CH . BC.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Xét ∆ABH và ∆CBA có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABC}\) chung.

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AB² = BH . BC.

b) Vì tam giác AHC vuông tại H nên \(\widehat {HCA} + \widehat {HAC} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)

Xét ∆AHB và ∆CHA có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)(chứng minh trên)

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AH² = BH . CH.

c) Ta có \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\]

Suy ra AB . AC = AH . BC.

d) Xét ∆CAH và ∆CBA có:

\(\widehat {CHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

\(\widehat {ACB}\) chung.

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AC² = CH . BC.

Câu 2

Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).

b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \)

= \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {CB} + (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} )\)

= \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \)

= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CE} \)

= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

= \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \)

Vậy \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).

Câu 3