Câu hỏi:
13/07/2024 1,724
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By của đường tròn(O) lấy một điểm C sao cho AC < BC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại E, F.
a) Chứng minh EF= AE + BF.
b) BC cắt Ax tại D. Chứng minh AD2 = DC. DB.
c) Gọi I là giao điểm của OD và AC, OE cắt AC tại H, tia DH cắt AB tại K. Chứng minh IK//AD.
d) IK cắt EO tại M. Chứng minh: A, M, F thẳng hàng.
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By của đường tròn(O) lấy một điểm C sao cho AC < BC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại E, F.
a) Chứng minh EF= AE + BF.
b) BC cắt Ax tại D. Chứng minh AD2 = DC. DB.
c) Gọi I là giao điểm của OD và AC, OE cắt AC tại H, tia DH cắt AB tại K. Chứng minh IK//AD.
d) IK cắt EO tại M. Chứng minh: A, M, F thẳng hàng.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét (O;R) có EA , EC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E
Suy ra AE = EC
Mà AO = OC nên EO là trung trực của AC
Hay EO ⊥ AC
Xét (O;R) có FC , FB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại F
Suy ra FB = FC
Mà OF = OB nên FO là trung trực của BC
Hay OF ⊥ BC
Ta có EF = EC + CF = AE+ BF
Vậy EF= AE+ BF
b) Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB
nên tam giác ABC vuông tại C
Suy ra AC ⊥ BD
Xét tam giác ABD vuông tại A có AC ⊥ BD
Suy ra AD2 = DC. DB (hệ thức lượng trong tam giác)
Vậy AD2 = DC. DB
c) Ta có EA = EC, OA = OC
Nên OE là trung trực của AC
Suy ra OE ⊥ AC
Mà AC ⊥ BD
Do đó OE // BD (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Trên tia đối của tia EO lấy P sao cho EP = EH
Xét tứ giác AHDP có E là giao điêm của hai đường chéo AD và HP, E là trung điểm của HP
Suy ra AHDP là hình bình hành
Suy ra HI // PD
Do đó \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)
Vì HK // AP nên \(\frac{{{\rm{OK}}}}{{{\rm{AK}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)
Mà \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OK}}}}{{{\rm{AK}}}}\)
Do đó IK // AD.
d) Ta có IK // AD, AD ⊥ BA nên IK ⊥ AB
Xét tam giác IAO có HO ⊥ AC, IK ⊥ AO và OH cắt IK tại M
Suy ra M là trực tâm tam giác OIA
Do đó AM ⊥ IO (1)
Gọi Q là giao điểm của FO và AD
Xét tam giác OBF và tam giác OAQ có
\(\widehat {OBF} = \widehat {OAQ}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OA = OB
\(\widehat {BOF} = \widehat {QOA}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó DOBF = DOAQ (g.c.g)
Suy ra FO = QO (hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác AFBQ có
AB cắt QF tại điểm O
O là trung điểm của AB, QF
Suy ra AFBQ là hình bình hành
Do đó AF // BQ
Xét tam giác BQD có AB ⊥ DQ, QF ⊥ DB
AB cắt QF tại O
Suy ra O là trực tâm tam giác BQD
Nên DO ⊥ QB
Mà BQ // AF (chứng minh trên)
Suy ra DO ⊥ AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, F thẳng hàng
Vậy A, M, F thẳng hàng.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH . BC;
b) AH2 = BH . HC;
c) AB . AC = AH . BC;
d) AC2 = CH . BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH . BC;
b) AH2 = BH . HC;
c) AB . AC = AH . BC;
d) AC2 = CH . BC.
Xem đáp án »
13/07/2024
20,218
Câu 2:
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).
Xem đáp án »
13/07/2024
15,025
Câu 3:
Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.
Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.
Xem đáp án »
13/07/2024
12,040
Câu 4:
Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian?
Xem đáp án »
13/07/2024
11,706
Câu 5:
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:
a) Ít nhất 2 bóng tốt.
b) Ít nhất 1 bóng tốt.
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:
a) Ít nhất 2 bóng tốt.
b) Ít nhất 1 bóng tốt.
Xem đáp án »
13/07/2024
11,341
Câu 6:
Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.
Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).
Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.
Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
9,047
về câu hỏi!