Câu hỏi:
13/07/2024 2,801Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By của đường tròn(O) lấy một điểm C sao cho AC < BC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại E, F.
a) Chứng minh EF= AE + BF.
b) BC cắt Ax tại D. Chứng minh AD2 = DC. DB.
c) Gọi I là giao điểm của OD và AC, OE cắt AC tại H, tia DH cắt AB tại K. Chứng minh IK//AD.
d) IK cắt EO tại M. Chứng minh: A, M, F thẳng hàng.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Xét (O;R) có EA , EC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E
Suy ra AE = EC
Mà AO = OC nên EO là trung trực của AC
Hay EO ⊥ AC
Xét (O;R) có FC , FB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại F
Suy ra FB = FC
Mà OF = OB nên FO là trung trực của BC
Hay OF ⊥ BC
Ta có EF = EC + CF = AE+ BF
Vậy EF= AE+ BF
b) Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB
nên tam giác ABC vuông tại C
Suy ra AC ⊥ BD
Xét tam giác ABD vuông tại A có AC ⊥ BD
Suy ra AD2 = DC. DB (hệ thức lượng trong tam giác)
Vậy AD2 = DC. DB
c) Ta có EA = EC, OA = OC
Nên OE là trung trực của AC
Suy ra OE ⊥ AC
Mà AC ⊥ BD
Do đó OE // BD (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Trên tia đối của tia EO lấy P sao cho EP = EH
Xét tứ giác AHDP có E là giao điêm của hai đường chéo AD và HP, E là trung điểm của HP
Suy ra AHDP là hình bình hành
Suy ra HI // PD
Do đó \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)
Vì HK // AP nên \(\frac{{{\rm{OK}}}}{{{\rm{AK}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)
Mà \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)
Suy ra \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OK}}}}{{{\rm{AK}}}}\)
Do đó IK // AD.
d) Ta có IK // AD, AD ⊥ BA nên IK ⊥ AB
Xét tam giác IAO có HO ⊥ AC, IK ⊥ AO và OH cắt IK tại M
Suy ra M là trực tâm tam giác OIA
Do đó AM ⊥ IO (1)
Gọi Q là giao điểm của FO và AD
Xét tam giác OBF và tam giác OAQ có
\(\widehat {OBF} = \widehat {OAQ}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OA = OB
\(\widehat {BOF} = \widehat {QOA}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó DOBF = DOAQ (g.c.g)
Suy ra FO = QO (hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác AFBQ có
AB cắt QF tại điểm O
O là trung điểm của AB, QF
Suy ra AFBQ là hình bình hành
Do đó AF // BQ
Xét tam giác BQD có AB ⊥ DQ, QF ⊥ DB
AB cắt QF tại O
Suy ra O là trực tâm tam giác BQD
Nên DO ⊥ QB
Mà BQ // AF (chứng minh trên)
Suy ra DO ⊥ AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, F thẳng hàng
Vậy A, M, F thẳng hàng.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a) Xét ∆ABH và ∆CBA có:
\(\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)
\(\widehat {ABC}\) chung.
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\) (tỉ số đồng dạng)
Do đó AB2 = BH . BC.
b) Vì tam giác AHC vuông tại H nên \(\widehat {HCA} + \widehat {HAC} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Mà \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)
Xét ∆AHB và ∆CHA có:
\(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
\(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)(chứng minh trên)
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) (tỉ số đồng dạng)
Do đó AH2 = BH . CH.
c) Ta có \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\]
Suy ra AB . AC = AH . BC.
d) Xét ∆CAH và ∆CBA có:
\(\widehat {CHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).
\(\widehat {ACB}\) chung.
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) (tỉ số đồng dạng)
Do đó AC2 = CH . BC.
Lời giải
Lời giải
a) Ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \)
= \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \)
= \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CD} \)
= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)
= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {CB} + (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} )\)
= \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)
Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)
b) Ta có:
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \)
= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CE} \)
= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CD} \)
= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CD} \)
= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)
= \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \)
Vậy \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận