Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By của đường tròn(O) lấy một điểm C sao cho AC < BC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại E, F.

a) Chứng minh EF= AE + BF.

b) BC cắt Ax tại D. Chứng minh AD² = DC. DB.

c) Gọi I là giao điểm của OD và AC, OE cắt AC tại H, tia DH cắt AB tại K. Chứng minh IK//AD.

d) IK cắt EO tại M. Chứng minh: A, M, F thẳng hàng.

Lời giải

a) Xét (O;R) có EA , EC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E

Suy ra AE = EC

Mà AO = OC nên EO là trung trực của AC

Hay EO ⊥ AC

Xét (O;R) có FC , FB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại F

Suy ra FB = FC

Mà OF = OB nên FO là trung trực của BC

Hay OF ⊥ BC

Ta có EF = EC + CF = AE+ BF

Vậy EF= AE+ BF

b) Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB

nên tam giác ABC vuông tại C

Suy ra AC ⊥ BD

Xét tam giác ABD vuông tại A có AC ⊥ BD

Suy ra AD² = DC. DB (hệ thức lượng trong tam giác)

Vậy AD² = DC. DB

c) Ta có EA = EC, OA = OC

Nên OE là trung trực của AC

Suy ra OE ⊥ AC

Mà AC ⊥ BD

Do đó OE // BD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Trên tia đối của tia EO lấy P sao cho EP = EH

Xét tứ giác AHDP có E là giao điêm của hai đường chéo AD và HP, E là trung điểm của HP

Suy ra AHDP là hình bình hành

Suy ra HI // PD

Do đó \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)

Vì HK // AP nên \(\frac{{{\rm{OK}}}}{{{\rm{AK}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)

Mà \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{PH}}}}\)

Suy ra \(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{OK}}}}{{{\rm{AK}}}}\)

Do đó IK // AD.

d) Ta có IK // AD, AD ⊥ BA nên IK ⊥ AB

Xét tam giác IAO có HO ⊥ AC, IK ⊥ AO và OH cắt IK tại M

Suy ra M là trực tâm tam giác OIA

Do đó AM ⊥ IO               (1)

Gọi Q là giao điểm của FO và AD

Xét tam giác OBF và tam giác OAQ có

\(\widehat {OBF} = \widehat {OAQ}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OA = OB

\(\widehat {BOF} = \widehat {QOA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó DOBF = DOAQ (g.c.g)

Suy ra FO = QO (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AFBQ có

AB cắt QF tại điểm O

O là trung điểm của AB, QF

Suy ra AFBQ là hình bình hành

Do đó AF // BQ

Xét tam giác BQD có AB ⊥ DQ, QF ⊥ DB

AB cắt QF tại O

Suy ra O là trực tâm tam giác BQD

Nên DO ⊥ QB

Mà BQ // AF (chứng minh trên)

Suy ra DO ⊥ AF    (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, M, F thẳng hàng

Vậy A, M, F thẳng hàng.