Cho (O; R) có AB là đường kính. Lấy điểm C thuộc tiếp tuyến Ax, BC cắt đường tròn (O) tại H.

a) Chứng minh BH . BC = 4R².

b) Phân giác của góc ABC cắt (O) ở M và cắt AC ở D. Chứng minh BM . BD = BH . BC.

c) Gọi K là trung điểm của AC. Chứng minh KH là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải

a) Vì AB là đường kính (O; R) nên AB = 2R

Vì C thuộc tiếp tuyến Ax của (O)

Nên CA ⊥ AB

Suy ra tam giác ABC vuông tại A

Vì H thuộc (O) đường kính AB

Nên tam giác ABH vuông tại H

Suy ta HA ⊥ HB

Xét tam giác ABC vuông tại A có HA ⊥ HB (chứng minh trên)

Suy ra BH . BC = AB² = (2R)² = 4 R²

b) Vì M thuộc (O) đường kính AB

Nên tam giác ABM vuông tại M

Suy ta MA ⊥ MB

Xét tam giác ABC vuông tại A có MA ⊥ MB (chứng minh trên)

Suy ra BM . BD = AB²

Mà BH . BC = AB² (chứng minh câu a)

Do đó BM . BD = BH . BC

c) Vì H, A cùng thuộc (O)

Nên OA = OH

Do đó tam giác AOH cân tại O

Suy ra \(\widehat {OAH} = \widehat {OHA}\)

Vì AH ⊥ BC nên tam giác AHC vuông tại H

Suy ra \(\widehat {CAH} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {CAH} + \widehat {HAO} = \widehat {CAO} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {OAH} = \widehat {HCA}\)

Lại có \(\widehat {OAH} = \widehat {OHA}\) (chứng minh trên)

Do đó \(\widehat {OHA} = \widehat {HCA}\)                  (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HK là đường trung tuyến

Suy ra \(HK = KC = \frac{1}{2}AC\)

Do đó tam giác HCK cân tại K

Suy ra \(\widehat {KHC} = \widehat {KCH}\)                            (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {KHC} = \widehat {OHA}\)

Mặt khác \(\widehat {KHC} + \widehat {KHA} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {OHA} + \widehat {KHA} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {OHK} = 90^\circ \)

Nên OH ⊥ HK

Xét (O) có H thuộc (O), OH ⊥ HK

Suy ra KH là tiếp tuyến của (O)

Vậy KH là tiếp tuyến của (O).