Cho (O; R) có AB là đường kính. Lấy điểm C thuộc tiếp tuyến Ax, BC cắt đường tròn (O) tại H. a) Chứng minh BH . BC = 4R2. b) Phân giác của góc ABC cắt (O) ở M và cắt AC ở D. Chứng minh BM . BD = BH ....

Câu hỏi:

13/07/2024 3,915

Cho (O; R) có AB là đường kính. Lấy điểm C thuộc tiếp tuyến Ax, BC cắt đường tròn (O) tại H.

a) Chứng minh BH . BC = 4R².

b) Phân giác của góc ABC cắt (O) ở M và cắt AC ở D. Chứng minh BM . BD = BH . BC.

c) Gọi K là trung điểm của AC. Chứng minh KH là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB là đường kính (O; R) nên AB = 2R

Vì C thuộc tiếp tuyến Ax của (O)

Nên CA ⊥ AB

Suy ra tam giác ABC vuông tại A

Vì H thuộc (O) đường kính AB

Nên tam giác ABH vuông tại H

Suy ta HA ⊥ HB

Xét tam giác ABC vuông tại A có HA ⊥ HB (chứng minh trên)

Suy ra BH . BC = AB² = (2R)² = 4 R²

b) Vì M thuộc (O) đường kính AB

Nên tam giác ABM vuông tại M

Suy ta MA ⊥ MB

Xét tam giác ABC vuông tại A có MA ⊥ MB (chứng minh trên)

Suy ra BM . BD = AB²

Mà BH . BC = AB²(chứng minh câu a)

Do đó BM . BD = BH . BC

c) Vì H, A cùng thuộc (O)

Nên OA = OH

Do đó tam giác AOH cân tại O

Suy ra \(\widehat {OAH} = \widehat {OHA}\)

Vì AH ⊥ BC nên tam giác AHC vuông tại H

Suy ra \(\widehat {CAH} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {CAH} + \widehat {HAO} = \widehat {CAO} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {OAH} = \widehat {HCA}\)

Lại có \(\widehat {OAH} = \widehat {OHA}\) (chứng minh trên)

Do đó \(\widehat {OHA} = \widehat {HCA}\) (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HK là đường trung tuyến

Suy ra \(HK = KC = \frac{1}{2}AC\)

Do đó tam giác HCK cân tại K

Suy ra \(\widehat {KHC} = \widehat {KCH}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {KHC} = \widehat {OHA}\)

Mặt khác \(\widehat {KHC} + \widehat {KHA} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {OHA} + \widehat {KHA} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {OHK} = 90^\circ \)

Nên OH ⊥ HK

Xét (O) có H thuộc (O), OH ⊥ HK

Suy ra KH là tiếp tuyến của (O)

Vậy KH là tiếp tuyến của (O).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) AB² = BH . BC;

b) AH² = BH . HC;

c) AB . AC = AH . BC;

d) AC² = CH . BC.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Xét ∆ABH và ∆CBA có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABC}\) chung.

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AB² = BH . BC.

b) Vì tam giác AHC vuông tại H nên \(\widehat {HCA} + \widehat {HAC} = 90^\circ \)(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)

Xét ∆AHB và ∆CHA có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAH} = \widehat {HCA}\)(chứng minh trên)

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AH² = BH . CH.

c) Ta có \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\]

Suy ra AB . AC = AH . BC.

d) Xét ∆CAH và ∆CBA có:

\(\widehat {CHA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

\(\widehat {ACB}\) chung.

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) (tỉ số đồng dạng)

Do đó AC² = CH . BC.

Câu 2

Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).

b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \)

= \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

= \(\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {CB} + (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} )\)

= \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} \) = \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \)

= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CE} \)

= \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CD} \)

= \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

= \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \)

Vậy \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \) = \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} \).

Câu 3