Câu hỏi:

25/03/2023 316

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc cạnh BC. Từ M vẽ các đường thẳng vuông góc với cạnh AB ở D và với cạnh AC ở E.

a) Chứng minh AM = DE

b) Gọi I là điểm đối xứng của D qua A và K là điểm đối xứng của E qua M. Chứng minh rằng các đoạn thẳng IK, DE, AM đồng quy tại trung điểm O của mỗi đoạn
c) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc BC). Tính số đo góc DHE
d) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để tứ giác DIEK là hình thoi

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập hơn 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.

Nâng cấp VIP Thi Thử Ngay

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Vì MD AB nên \(\widehat {M{\rm{D}}A} = 90^\circ \)

ME AC nên \(\widehat {MEA} = 90^\circ \)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat {M{\rm{D}}A} = 90^\circ \), \(\widehat {MEA} = 90^\circ \), \(\widehat {DAE} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật

Mà AM, DE là 2 đường chéo

Suy ra AD = ME, AM = DE, AM cắt DE tại trung điểm của mỗi đoạn

Vậy AM = DE.

b) Gọi O là giao điểm của AM và DE

Nên ta có O là trung điểm của AM, DE (chứng minh câu a)                     (1)

Vì I là điểm đối xứng của D qua A và K là điểm đối xứng của E qua M

Nên \[IA = AD = \frac{1}{2}DI,\,\,\,KM = EM = \frac{1}{2}KE\]

Mà AD = ME (chứng minh câu a)

Suy ra DI = KE

Ta có DI AC, KE AC

Suy ra DI // KE (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác DKEI có DI // KE và DI = KE (chứng minh trên)

Suy ra DKEI là hình bình hành

Suy ra DE cắt KI tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của DE

Do đó O là trung điểm của KI                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra các đoạn thẳng IK, DE, AM đồng quy tại trung điểm O của mỗi đoạn

c) Vì tam giác AHM vuông tại H, HO là đường trung tuyến

nên \[HO = \frac{1}{2}AM\]

Mà AM = DE

Suy ra HO = \(\frac{1}{2}\)DE

Xét tam giác DHE có \[HO = \frac{1}{2}DE\], HO là trung tuyến

Suy ra tam giác DHE vuông tại H

Do đó \(\widehat {DHE} = 90^\circ \)

d) Để hình bình hành DIKE là hình thoi

Thì EK = EI

Mà EK = 2EM, EI = AM

Suy ra AM = 2EM

Xét tam giác AEM vuông tại E có AM = 2EM

Suy ra \(\widehat {MAE} = 30^\circ \)

Vậy lấy M thuộc BC sao cho \(\widehat {MAC} = 30^\circ \) thì tứ giác DIEK là hình thoi.

Quảng cáo

book vietjack

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.

b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.

Xem đáp án » 25/03/2023 7,566

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) AB2 = BH . BC;

b) AH2 = BH . HC;

c) AB . AC = AH . BC;

d) AC2 = CH . BC.

Xem đáp án » 25/03/2023 4,048

Câu 3:

Chứng minh hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Xem đáp án » 25/03/2023 3,278

Câu 4:

Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian?

Xem đáp án » 25/03/2023 3,005

Câu 5:

Chứng minh sin 3x = 3sin x – 4sin3x, cos 3x = 4cos3x – 3cos x

Xem đáp án » 25/03/2023 3,000

Câu 6:

Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:

a) Ít nhất 2 bóng tốt.  

b) Ít nhất 1 bóng tốt.

Xem đáp án » 25/03/2023 2,891

Câu 7:

Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.

Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).

Xem đáp án » 25/03/2023 2,455

Bình luận


Bình luận